Question

3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，如果点F是弧EC的中点，联结FB，那么tan∠FBC的值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 连接CE交BF于H，连接BE，根据矩形的性质求出AB=CD=3，AD=BC=5=BE，∠A=∠D=90°，根据勾股定理求出AE=4，求出DE=1，根据勾股定理求出CE，求出CH，解直角三角形求出即可．

解答 解：连接CE交BF于H，连接BE，

∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=5，
∴AB=CD=3，AD=BC=5=BE，∠A=∠D=90°，
由勾股定理得：AE=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，DE=5-4=1，
由勾股定理得：CE=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
由垂径定理得：CH=EH=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
在Rt△BHC中，由勾股定理得：BH=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{\sqrt{10}}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
所以tan∠FBC=$\frac{FC}{BH}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{\frac{3\sqrt{10}}{2}}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，垂径定理的应用，能正确作出辅助线并构造出直角三角形是解此题的关键．