Question

【题目】如图，四边形ADBC内接于⊙O，AD平分∠EDC，AE∥BC交直线BD于E．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若CD为直径，tan∠ADE=2，求sin∠BDC的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）．

【解析】

（1）连接AB，连接AO并延长交BC于F，由圆内接四边形的性质得出∠ADE=∠ACB，再由圆周角定理证出∠ABC=∠ACB，得出AB=AC，得出AF⊥BC，证出AE⊥AF即可得出结论；

（2）连接AO并延长交BC于G，由圆周角定理得出∠DAC=∠CBD=90°，证出四边形AEBG是矩形，得出BG=AE，AG=BE，由三角函数得出AE=2DE，AC=2AD，AG=2CG=BC=2AE=4DE，得出AD=DE，CD=AD=5DE，即可得出结果．

（1）证明：连接AB，连接AO并延长交BC于F，如图1所示：

∵四边形ADBC内接于⊙O，AD平分∠EDC，

∴∠ADE=∠ACB，∠ADE=∠ADC，

∵∠ADC=∠ABC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∴AF⊥BC

∵AE∥BC，

∴AE⊥AF，

∴AE是⊙O的切线；

（2）解：连接AO并延长交BC于G，如图2所示：

∵CD为直径，

∴∠DAC=∠CBD=90°，

∵AE∥BC，

∴∠E+∠CBD=90°，

∴∠E=90°，

∴四边形AEBG是矩形，

∴BG=AE，AG=BE，

∵∠ADE=∠ADC=∠ACB，

∴，

∴AE=2DE，AC=2AD，AG=2CG=BC=2AE=4DE，

∴AD=DE，CD=AD=5DE，

∴．