Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，顶点是D．

（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；

（2）在x轴上取点F，在抛物线上取点E，使以点C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；

（3）将此抛物线沿着过点（0，2）且垂直于y轴的直线翻折，E为所得新抛物线x轴上方一动点，过E作x轴的垂线，交x轴于G，交直线l：y=-x-1于点F，以EF为直径作圆在直线l上截得弦MN，求弦MN长度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的表达式为：y=x2-4x+3；D（2，-1）；（2）点E的坐标为（2+，2）或（2-，2）或（2+，4）或（2-，4）；（3）MN的最大值为．

【解析】

（1）利用待定系数法确定函数解析式；

（2）分当CD为平行四边形的对角线、平行四边形的一条边，两种情况求解即可；

（3）则新抛物线的表达式为：y=-（x-2）2+5=-x2+4x+1．设点E的坐标为（x，-x2+4x+1），则点F（x，-x-1），所以EF=-x2+4x+1-（-x-1）=-x2+x+2．设直线y=-x-1与x轴交于点Q．通过锐角三角函数定义得到MN=EFcos∠QFG=（-x2+x+2），利用配方法求得该函数值的最大值．

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（3，0），

∴．

解得．

抛物线的表达式为：y=x2-4x+3；

（2）如图1，当CD为平行四边形的对角线时，

设点E的坐标为（x，x2-4x+3），

则CD中点的坐标为（1，1），该点也为EF的中点．

即：x2-4x+3=2×1，解得：x=2±，

E的坐标为（2+，2）或（2-，2）；

2，当CD为平行四边形的一条边时，

设点F坐标为（m，0），

点D向左平移2个单位、向上平移4个单位，得到点C，

同样点F向左平移2个单位、向上平移4个单位，得到点E（m-2，4），

将点E坐标代入二次函数表达式并解得：m=4±，

则点E（2+，4）或（2-，4）；

故点E的坐标为（2+，2）或（2-，2）或（2+，4）或（2-，4）；

（3）抛物线沿着过点（0，2）且垂直与y轴的直线翻折后，顶点坐标为（2，5），

则新抛物线的表达式为：y=-（x-2）2+5=-x2+4x+1．

设点E的坐标为（x，-x2+4x+1），则点F（x，-x-1），

EF=-x2+4x+1-（-x-1）=-x2+x+2．

设直线y=-x-1与x轴交于点Q．

MN=EFcos∠QFG=（-x2+x+2）=-（x-）2+．

由二次函数性质可知，MN的最大值为．