Question

（1）因式分解：①a²-2ab+b²=

 

；②x²-4x+4=

 

；③y²+6y+9=

 

；
（2）利用作差法可以进行比较，如：若a-b＞0，则a＞b，若a-b=0，则a=b，若a-b＜0，则a＜b，根据上述知识解答：①求证：a²+b²≥2ab，②求证：x²+y²+6y≥4x-13；
（3）利用（1）、（2）得到的解题体会回答下题：如图，有一块直径为2a+2b的圆形钢板（a＞b）．方案一：如图中挖去直径分别为2a、2b的两个圆，方案二：如图中挖去两个直径为a+b的圆，设方案一、方案二的剩下钢板的面积分别为M、N
①分别求两方案中剩下的钢板的面积（用字母a、b表示）；
②比较剩下钢板的面积的大小．

Answer 1

考点：因式分解的应用

专题：

分析：（1）利用完全平方公式进行因式分解；
（2）①利用完全平方公式和非负数的性质得到：（a-b）²≥0，利用作差法易证得结论；
②利用完全平方公式和非负数的性质得到：（x-2）²+（y+3）²≥0，利用作差法易证得结论；
（3）①所剩钢板的面积=大圆面积-两个小圆的面积；
②利用（2）中的方法来比较它们的大小．

解答：（1）解：①a²-2ab+b²=（a-b）²；②x²-4x+4=（x-2）²；③y²+6y+9=（y+3）²；
故答案是：（a-b）²；（x-2）²；（y+3）²；

（2）证明：①∵（a-b）²≥0，
∴a²+b²-2ab≥0，
∴a²+b²≥2ab；
②∵（x-2）²+（y+3）²≥0，
∴x²-4x+4+y²+6y+9≥0，即x²+y²+6y-（4x-13）≥0，
∴x²+y²+6y≥4x-13；

（3）解：①方案一：所剩钢板的面积=π（a+b）²-πa²-πb²=2πab；
方案二：所剩钢板的面积=π（a+b）²-2×π（

a+b

2

）²=

π(a+b)2

2

；
②∵a²+b²≥2ab，
∴

a2+b2

2

≥ab，
∴

a2+b2

2

-ab≥0，
∴

π(a+b)2

2

-2πab=π（

a2+b2

2

-ab）≥0．
∴

π(a+b)2

2

≥2πab，
∴方案二所剩钢板的面积不小于方案一所剩钢板的面积．

点评：本题考查了因式分解的应用，解答（2）、（3）中所提及的“作差法”，在初中阶段，是比较大小的常用方法．