Question

【题目】已知是等边三角形，点是的中点，点在射线上，点在射线上，.

（1）如图1，若点与点重合，求证：；

（2）如图2，若点在线段上，点在线段上，求的值；

（3）如图3，若，直接写出的度数为______.

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）；（3）15°.

【解析】

（1）由△ABC是等边三角形，则BD是高也是角平分线，则∠DBC=30°，∠BDC=90°，由，可求∠CDE=∠E=30°，即可得到DB=DE；

（2）过点D作DG⊥BC，DH⊥AB，连接BD，由∠ABC=60°，得到∠GDH=120°=∠EDF，得到∠FDH=∠EDG，又BD平分∠ABC，则DH=DG，可证△FDH≌△EDG，得到FH=EG，则BE+BF=BH+BG=2BG，设AC=BC=2k，则CD=k，CG=，得到BG=，即可得到的值.

（3）如图，在BC上截取CM=AF，连接DM，DF，DE，由，则，先证明△AFD≌△CMD，得到DF=DM，由（2）知DF=DE，则DM=DE，则△MED是等腰三角形，则MG=EG=，设AC=2k，则ME=BD=，则DG=，则△EDG是等腰直角三角形，得∠E=45°，即可得到∠EDC=15°.

（1）证明：如图，

∵△ABC是等边三角形，D是AC中点，

∴AC⊥BD，BD平分∠ABC，

∴∠DBC=30°，∠BDC=90°，

∵，

∴∠CDE=30°，

∵∠ACB=60°，

∴∠E=30°=∠DBC，

∴BD=ED；

（2）解：如图，过点D作DG⊥BC，DH⊥AB，连接BD，则∠BHD=∠BGD=90°，

∵∠ABC=60°，

∴∠GDH=120°=∠EDF，

∴∠FDH=∠EDG，

∵BD平分∠ABC，

∴DH=DG，

∴△FDH≌△EDG，

∴FH=EG，

∵BH=BG，

∴BE+BF=BH+BG=2BG，

∠CBD=∠CDG=30°，

设AC=BC=2k，∠CBD=∠CDG=30°，

∴CD=k，CG=，

∴BG=，DG=，

∴；

（3）如图，在BC上截取CM=AF，连接DM，DF，DE，

∵，

∴，

∵AD=CD，∠A=∠ACD，

∴△AFD≌△CMD，

∴DF=DM，

由（2）知DF=DE，

∴DM=DE，

∴△MED是等腰三角形，

∴MG=EG=，

由（2）设AC=2k，则ME=BD=，

∴DG=，

∴△EDG是等腰直角三角形，

∴∠E=45°，

∵∠ACB=60°，

∴∠EDC=.

故答案为：15°.