Question

【题目】如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．

（1）说明方程x2－3x+2＝0是倍根方程；

（2）说明：若(x－2)(mx＋n)＝0是倍根方程，则4m2＋5mn＋n2＝0；

（3）如果方程ax2＋bx＋c＝0是倍根方程，且相异两点M(1＋t，s)，N(4－t，s)都在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，试说明方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为.

Answer 1

【答案】（1）理由见解析；（2）理由见解析；（3）理由见解析.

【解析】试题分析：（1）解得方程后即可利用倍根方程的定义进行判断；

（2）根据（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，从而得到m+n=0，4m+n=0，进而得到4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0；

（3）由方程ax2+bx+c=0是倍根方程，得到x1=3x2，由相异两点M（1+t，s），N（4-t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，通过抛物线对称轴求得x1的值.

试题解析：（1）解方程x2-3x+2=0得：x1=2，x2=1，

∴方程x2-3x+2=0是倍根方程.

（2）∵（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=-，

∴=-1，或=-4，

∴m+n=0，4m+n=0，

∵4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0，

（3）∵方程ax2+bx+c=0是倍根方程，

∴设x1=2x2，

∵相异两点M（1+t，s），N（4-t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，

∴抛物线的对称轴x=，

∴x1+x2=5，

∴x2+2x2=5，

∴x2=．