Question

【题目】在矩形OABC中，OA＝4，OC＝2，以点O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立直角坐标系．

（1）将矩形OABC绕点C逆时针旋转至矩形DEFC，如图1，DE经过点B，求旋转角的大小和点D，F的坐标；

（2）将图1中矩形DEFC沿直线BC向左平移，如图2，平移速度是每秒1个单位长度．

①经过几秒，直线EF经过点B；

②设两矩形重叠部分的面积为S，运动时间为t，写出重叠部分面积S与时间t之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）旋转角为30°，D（1，），F（；（2）①直线EF经过点B时所需的时间为秒；②当0＜t＜1时，；当1≤t＜4时，．

【解析】

（1）根据OA＝4，OC＝2，可得BC＝2CD，则可以求出∠BCD＝60°，则旋转角即可求得；作DM⊥CB于点M，FN⊥CB于点N，根据三角函数即可求得DM，CM的长，从而求得D的坐标，在Rt△CFN中，根据三角函数求得CN，FN的长，即可得F的坐标；

（2）①如图，HB即为直线EF经过点B时移动的距离，在Rt△C′DH中利用三角函数即可求得DH，从而得到HE，再在Rt△HEB中，利用三角函数求得BH，即可求得时间；

②分两种情况进行讨论：当0＜t＜1时，重叠部分面积为四边形DGCH，如图2；当1≤t＜4时，重叠部分的面积为△GCH，如图3，分别求解即可．

解：（1）如图1，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝2，

∴在Rt△BCD中，BC＝2CD，即，

∴∠BCD＝60°，

∴旋转角∠OCD＝30°，

作DM⊥CB于点M，FN⊥CB于点N，

在Rt△CDM中，CM＝CDcos60°＝1，DM＝CDsin60°＝，

∴点D到x轴的距离为，

在Rt△CFN中，，

∴点F到x轴的距离为4，

故D（1，），F（，）；

（2）①如图2，HB即为直线EF经过点B时移动的距离，

在Rt△C′DH中，，

∴，

在Rt△BEH中，∠BHE＝∠C′HD＝30°，cos30°＝，则，

∴直线EF经过点B时所需的时间为秒；

②过点D作DM⊥BC于点M，

在Rt△DMC′中，C′M＝，

当0＜t＜1时，重叠部分面积为四边形DGCH，如图2，

∵C′C＝t，CG＝C′C·tan60°＝，

∴，

当1≤t＜4时，重叠部分的面积为△GCH，如图3，

∵，

∴．