Question

【题目】如图所示，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DE⊥BC于点E，作DF平行x轴交直线BC于点F，求△DEF周长的最大值．

（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线对称轴的右侧，是否存在以点P，M，N，Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）△DEF周长的最大值为；（3）点P的横坐标为2或.

【解析】

（1）把A，B两点代入求出解析式即可；

（2）由等腰直角三角形的性质可得，可得△DEF周长=DE+EF+DF=，设点D的坐标为，则点F的坐标为：，求出最大值即可；

（3）分两种情况讨论，由正方形的性质和全等三角形的性质可求解．

解：（1）∵物线y=ax2+bx-3与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，

∴

解得：，

∴解析式为：；

（2）∵抛物线与y轴交于点C，

∴点C坐标为（0，-3），

∴直线BC解析式为：y=x-3，

∵点B（3，0），点C（0，-3），

∴OB=OC=3，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∵DF∥AB，

∴∠EFD=45°=∠OBC，

∵DE⊥BC，

∴∠EFD=∠EDF=45°，

∴DE=EF，

∴

∴

∴△DEF周长=DE+EF+DF=

设点D的坐标为，则点F的坐标为：，

∴DF=，

∴当时，DF有最大值为，

∴△DEF周长=；

（3）存在，

如图1，过点M作GH⊥OC，过点P作PH⊥GH，连接MN，PM，

∵抛物线的解析式为，

∴点M（1，4），

∵以点P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形，

∴PM=MN，∠PMN=90°，

∴∠PMH+∠NMG=90°，且∠PMH+∠MPH=90°，

∴∠NMG=∠MPH，且MN=PM，∠H=∠NGM=90°，

∴△MNG≌△PMH（AAS），

∴GM=PH=1，

∴点P的纵坐标为-3，

∴，

∴x=0（不合题意舍去），x=2，

∴点P的横坐标为2，

如图2，过点P作GH⊥AB，过点N作NG⊥GH，过点M作MH⊥GH，

∴△NGP≌△PHM，

可得NG=PH，GP=MH，

设点P横坐标为m，（m＞1）

∴NG=PH=m，

∴点P纵坐标为-4+m，

∴，

∴或（舍去），

综上所述：点P的横坐标为2或.