Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，交AC于点G，过点D作DE⊥AC于点E，延长ED交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AB=13，BC=10．求AE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）首先连接OD，由AB=AC，OB=OD，易得∠ABD=∠ODB=∠C，继而可得OD∥AC，然后由DE⊥AC，证得DE⊥OD，则可得直线EF与⊙O相切．
（2）首先连接AD，由圆周角定理，可得∠ADB=90°，然后由三线合一，可求得BD的长，再由勾股定理，求得AD的长，易证得△AED∽△ADC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答：解：（1）直线EF与⊙O相切．
理由：连接OD，
∵AB=AC，OB=OD，
∴∠ABC=∠C，∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴直线EF与⊙O相切．

（2）连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=DC=

1

2

BC=5，
∴AD=

AB2-BD2

=

132-52

=12，
∵∠DAC=∠DAC，∠ADC=∠AED=90°，
∴△AED∽△ADC，
∴

AE

AD

=

AD

AC

，
即

AE

12

=

12

13

，
解得：AE=

144

13

．

点评：此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．