Question

6．如图：AD平分∠CAB，D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，∠ACD+∠DBA=180°，AC=9，AB=21，BD=10．
（1）求CD的长；
（2）求AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质得到DM=DN，证明△DCM≌△DBN，根据全等三角形的性质得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到CM=BN，求出CM=BN=6，根据勾股定理计算即可．

解答 解：（1）∵AD平分∠CAB，DM⊥AC，DN⊥AB，
∴DM=DN，AM=AN，
∵∠ACD+∠DCM=180°，∠ACD+∠DBA=180°，
∴∠DCM=∠DBA，
在△DCM和△DBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DN}\\{∠DCM=∠DBN}\\{∠DMC=∠DNB}\end{array}\right.$，
∴△DCM≌△DBN，
∴CD=BD=10；
（2）∵△DCM≌△DBN，
∴CM=BN，
∵9+CM=21-BM，
∴CM=BN=6，又CD=10，
∴DM=$\sqrt{C{D}^{2}-C{M}^{2}}$=8，
∴AD=$\sqrt{A{M}^{2}+D{M}^{2}}$=17．

点评 本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．