【题目】某公园在一个扇形OEF草坪上的圆心O处垂直于草坪的地上竖一根柱子OA,在A处安装一个自动喷水装置.喷头向外喷水.连喷头在内,柱高m,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,喷出的水流在与D点的水平距离4米处达到最高点B,点B距离地面2米.当喷头A旋转120°时,这个草坪可以全被水覆盖.如图1所示.
(1)建立适当的坐标系,使A点的坐标为(O,),水流的最高点B的坐标为(4,2),求出此坐标系中抛物线水流对应的函数关系式;
(2)求喷水装置能喷灌的草坪的面积(结果用π表示);
(3)在扇形OEF的一块三角形区域地块△OEF中,现要建造一个矩形GHMN花坛,如图2的设计方案是使H、G分别在OF、OE上,MN在EF上.设MN=2x,当x取何值时,矩形GHMN花坛的面积最大?最大面积是多少?
【答案】(1)y=﹣(x﹣4)2+2;(2)(平方米);(3)当x=时,S的值最大为:(平方米).
【解析】
(1)利用顶点式求出二次函数解析式即可;
(2)利用y=0时求出图象与x轴的交点坐标,进而得出扇形的半径,即可得出S的值;
(3)利用锐角三角函数关系得出MH的长,再利用二次函数最值公式求出即可.
(1)根据题意得出:图象顶点坐标为:(4,2),
故设解析式为:y=a(x﹣4)2+2,
将(0,),代入上式得:
=a(0﹣4)2+2,
解得:a=﹣,
∴抛物线水流对应的函数关系式为:y=﹣(x﹣4)2+2;
(2)当y=0时,
0=﹣(x﹣4)2+2,
解得:x1=10,x2=﹣2(舍去),
∴扇形半径为10米,
∴S=(平方米);
(3)过点O作OA⊥EF于点A,交GH于点B,
∵∠EOF=120°,EO=FO=10,
∴∠OEF=∠OFE=30°,
∴AO=FO=5,
设MN=2x,
∴AM=BH=x,
∴BO=x,
∴MH=5﹣x,
由题意得出:
S=2x(5﹣x)=﹣x2﹣10x,
当x=﹣= 时,
S的值最大为:S= (平方米).
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【题目】已知点E在△ABC内,∠ABC=∠EBD=α,∠ACB=∠EDB=60°,∠AEB=150°,∠BEC=90°.
(1)当α=60°时(如图1),
①判断△ABC的形状,并说明理由;
②求证:BD=AE;
(2)当α=90°时(如图2),求的值.
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【题目】如图,将函数y= (x-2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(1,m),B(4,n)平移后的对应点分别为点A′,B′,若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是__________.
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【题目】如图,抛物线的顶点为C,对称轴为直线,且经过点A(3,-1),与y轴交于点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)经过点A的直线交抛物线于点P,交x轴于点Q,若,试求出点P的坐标.
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【题目】(1)如图是一个组合几何体,右边是它的两种视图,在右边横线上填写出两种视图的名称;
视图 视图
(2)根据两种视图中尺寸(单位:cm),计算这个组合几何体的表面积.(π取3.14)
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2.P是AB边上一动点,PD⊥AC于点D,点E在P的右侧,且PE=1,连结CE.P从点A出发,沿AB方向运动,当E到达点B时,P停止运动.在整个运动过程中,图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是( )
A. 一直减小B. 一直不变C. 先减小后增大D. 先增大后减小
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【题目】阅读材料:各类方程的解法
求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解;类似的,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想转化,把未知转化为已知.
用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2-2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0,解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.
(1)问题:方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ,x3= ;
(2)拓展:用“转化”思想求方程的解;
(3)应用:如图,已知矩形草坪ABCD的长AD=8m,宽AB=3m,小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B,沿草坪边沿BA,AD走到点P处,把长绳PB段拉直并固定在点P,然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.
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【题目】如图,正方形AOBC的顶点O在原点,边AO,BO分别在x轴和y轴上,点C坐标为(4,4),点D是BO的中点,点P是边OA上的一个动点,连接PD,以P为圆心,PD为半径作圆,设点P横坐标为t,当⊙P与正方形AOBC的边相切时,t的值为_____.
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