Question

已知二次函数y=-x²+2x+k+2与x轴的公共点有两个．求：
（1）求k的取值范围；
（2）当k=1时，求抛物线与x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标；
（3）观察图象，当x取何值时y＞0？

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数与不等式（组）

专题：

分析：（1）根据抛物线与x轴的交点问题得到△=2²-4×（-1）（k+2）＞0，然后解不等式即可．
（2）把k=1代入函数关系式，将该函数关系式转化为交点式和顶点式方程，根据方程来解题；
（3）根据图象直接写出答案．

解答：解：（1）∵二次函数y=-x²+2x+k+2与x轴的公共点有两个，
∴△=2²-4×（-1）（k+2）＞0，
解得 k＞-3；

（2）把k=1代入函数关系得到：y=-x²+2x+3，
则y=-（x-3）（x+1），
故抛物线与x轴的公共点A和B的坐标分别是（3，0）、（-1，0）．
又∵y═-x²+2x+3=-（x-1）²-4．
∴该抛物线顶点C的坐标是（1，4）；

（3）根据图象知，当-1＜x＜3时，y＞0．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的解析式的三种形式．三种形式分别为：
（1）一般式：y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x-h）²+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x₁）（x-x₂）．同时考查了抛物线与坐标轴的交点求法．