Question

【题目】如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．

（1）求证：△ODM∽△MCN；
（2）设DM=x，OA=R，求R关于x的函数关系式；
（3）在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵MN切⊙O于点M，∴∠OMN=90°，∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°，∴∠OMD=∠MNC，又∵∠D=∠C=90°，∴△ODM∽△MCN

（2）解：在Rt△ODM中，DM=x，设OA=OM=R，∴OD=AD﹣OA=8﹣R，由勾股定理得：（8﹣R）2+x2=R2，

∴64﹣16R+R2+x2=R2，∴R=

（3）解：∵CM=CD﹣DM=8﹣x，OD=8﹣R=8﹣ ，且有△ODM∽△MCN，∴ ，∴代入得到：CN= ．

同理 ，∴代入得到：MN= ，∴△CMN的周长=CM+CN+MN=（8﹣x）+ + =（8﹣x）+（x+8）=16，

在点O的运动过程中，△CMN的周长始终为16，是一个定值

【解析】（1）根据切线的性质得∠OMN=90°，根据同角的余角相等得出∠OMD=∠MNC，根据正方形的性质得出∠D=∠C=90°，从而判断出△ODM∽△MCN；
（2）在Rt△ODM中，DM=x，根据同圆的半径相等得出OA=OM=R，根据线段的和差得出OD=AD﹣OA=8﹣R，根据勾股定理得出方程（8﹣R）2+x2=R2，变形方程得出R关于x的函数关系式；
（3）CM=CD﹣DM=8﹣x，OD=8﹣R，根据相似三角形对应边成比例得出=,代入得出CN,同理得出MN，根据△CMN的周长=CM+CN+MN列出代数式，化简合并就知道答案了。
【考点精析】解答此题的关键在于理解正方形的性质的相关知识，掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形，以及对切线的性质定理的理解，了解切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．