【题目】如图,△ABC中,AC=BC,点D在BC上,作∠ADF=∠B,DF交外角∠ACE的平分线CF于点F.
(1)求证:CF∥AB;
(2)若∠CAD=20°,求∠CFD的度数.
【答案】(1)见解析;(2)20°
【解析】
试题分析:(1)根据三角形的性质得到∠B=∠BAC,由三角形外角的性质得到∠ACE=∠B+∠BAC,求得∠BAC=,由角平分线的定义得到∠ACF=∠ECF=,等量代换得到∠BAC=∠ACF,根据平行线的判定定理即可得到结论;
(2)由等量代换得到∠ACF=∠ADF,根据三角形的内角和得到∠ADF+∠CAD+∠AGD=180°,∠ACF+∠F+∠CGF=180°,由于∠AGD=∠CGF,即可得到结论.
(1)证明:∵AC=BC,
∴∠B=∠BAC,
∵∠ACE=∠B+∠BAC,
∴∠BAC=,
∵CF平分∠ACE,
∴∠ACF=∠ECF=,
∴∠BAC=∠ACF,
∴CF∥AB;
(2)解:∵∠BAC=∠ACF,∠B=∠BAC,∠ADF=∠B,
∴∠ACF=∠ADF,
∵∠ADF+∠CAD+∠AGD=180°,∠ACF+∠F+∠CGF=180°,
又∵∠AGD=∠CGF,
∴∠F=∠CAD=20°.
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【题目】一次函数的图像与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,-2).
(1)一次函数的函数关系式;
(2)若直线AB上有一点C,且△BOC的面积为2,求点C 的坐标;
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【题目】如图,抛物线y=x2﹣bx+c过点B(3,0),C(0,﹣3),D为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标;
(2)点C关于抛物线y=x2﹣bx+c对称轴的对称点为E点,连接BC,BE,求∠CBE的正切值;
(3)在(2)的条件下,点M是抛物线对称轴上且在CE上方的一点,是否存在点M使△DMB和△BCE相似?若存在,求点M坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点(不与B、D重合),连结AP,过点B作直线AP的垂线,垂足为H,连结DH.若正方形的边长为4,则线段DH长度的最小值是 .
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【题目】我市某中学决定在八年级阳光体育“大课间”活动中开设A:实心球,B:立定跳远,C:跳绳,D:跑步四种活动项目.为了了解学生对四种项目的喜欢情况,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如图①②的统计图.请结合图中的信息解答下列问题:
(1)在这项调查中,共调查了多少名学生?
(2)将两个统计图补充完整;
(3)若调查到喜欢“立定跳远”的5名学生中有3名男生,2名女生.现从这5名学生中任意抽取2名学生.请用画树状图或列表的方法,求出刚好抽到同性别学生的概率.
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【题目】如图,已知抛物线y=a(x+2)(x﹣4)(a为常数,且a>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=﹣ x+b与抛物线的另一交点为D,且点D的横坐标为﹣5.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)P为直线BD下方的抛物线上的一点,连接PD、PB,求△PBD面积的最大值;
(3)设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于点A(﹣4,0),B(0,3),动点P从点O出发,沿x轴负方向以每秒1个单位的速度运动,同时动点Q从点B出发,沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动,过点P作PC⊥AB于点C,连接PQ,CQ,以PQ,CQ为邻边构造平行四边形PQCD,设点P运动的时间为t秒.
(1)当点Q在线段OB上时,用含t的代数式表示PC,AC的长;
(2)在运动过程中. ①当点D落在x轴上时,求出满足条件的t的值;
②若点D落在△ABO内部(不包括边界)时,直接写出t的取值范围;
(3)作点Q关于x轴的对称点Q′,连接CQ′,在运动过程中,是否存在某时刻使过A,P,C三点的圆与△CQQ′三边中的一条边相切?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.#D.
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【题目】王老师的数学课采用小组合作学习的方式,把班上40名学生分成若干个小组.如果要求每小组只能是5人或6人,那么分组方案有( )
A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别是AB、AC的中点,连接DE并延长至点F,使EF=DE,连接AF、DC.求证:四边形ADCF是菱形.
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