【题目】如图,二次函数的图象经过点,直线与轴交于点为二次函数图象上任一点.
求这个二次函数的解析式;
若点在直线的上方,过分别作和轴的垂线,交直线于不同的两点(在的左侧),求周长的最大值;
是否存在点使得是以为直角边的直角三角形?如果存在,直接写出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】;最大值为;存在,或或
【解析】
(1)如图1,运用待定系数法求这个二次函数的解析式;
(2)如图2,先求直线BC的解析式为y=x﹣2,设出点E的坐标,写出点G的坐标(﹣m2+3m+8,﹣m2+m+2),求出EG的长,证明△EFG∽△DOB,根据相似三角形周长的比等于相似比表示△EFG周长=(﹣m2+2m+8)= [﹣(m﹣1)2+9],根据二次函数的顶点确定其最值;
(3)分二种情况讨论:分别以D、B两个顶点为直角时,列方程组,求出点E的坐标,根据两垂直直线的一次项系数为负倒数得出结论.
解:(1)如图1,把A(﹣1,0),B(4,0),C(﹣2,﹣3)代入y=ax2+bx+c中,得:
,
解得:,
则二次函数的解析式y=﹣x2+x+2;
(2)如图2,设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B(4,0),C(﹣2,﹣3)代入y=kx+b中得:
,
解得:,
∴直线BC的解析式为y=x﹣2,
设E(m,﹣m2+m+2),﹣2<m<4,
∵EG⊥y轴,
∴E和G的纵坐标相等,
∵点G在直线BC上,
当y=﹣m2+m+2时,
﹣m2+m+2=x﹣2,
解得:x=﹣m2+3m+8,
则G(﹣m2+3m+8,﹣m2+m+2),
∴EG=﹣m2+3m+8﹣m=﹣m2+2m+8,
∵EG∥AB,
∴∠EGF=∠OBD,
∵∠EFG=∠BOD=90°,
∴△EFG∽△DOB,
∴,
∵D(0,﹣2),B(4,0),
∴OB=4,OD=2,
∴BD==2,
∴=,
∴△EFG的周长=(﹣m2+2m+8),
= [﹣(m﹣1)2+9],
∴当m=1时,△EFG周长最大,最大值是;
(3)存在点E,
分两种情况:
①若∠EBD=90°,则BD⊥BE,如图3,
设BD的解析式为:y=kx+b,
把B(4,0)、D(0,﹣2)代入得:
,
解得:,
∴BD的解析式为:y=x﹣2,
∴设直线EB的解析式为:y=﹣2x+b,
把B(4,0)代入得:b=8,
∴直线EB的解析式为:y=﹣2x+8,
∴,
﹣x2+x+2=﹣2x+8,
解得:x1=3,x2=4(舍),
当x=3时,y=﹣2×3+8=2,
∴E(3,2),
②当BD⊥DE时,即∠EDB=90°,如图4,
同理得:DE的解析式为:y=﹣2x+b,
把D(0,﹣2)代入得:b=﹣2,
∴DE的解析式为:y=﹣2x﹣2,
∴,
解得:或,
∴E(8,﹣18)或(﹣1,0),
综上所述,点E(3,2)或(8,﹣18)或(﹣1,0),
故存在满足条件的点E,点E的坐标为(3,2)或(﹣1,0)或(8,﹣18).
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【题目】对于题目:“如图1,平面上,正方形内有一长为12 、宽为6 的矩形,它可以在正方形的内部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式,自由地从横放移转到竖放,求正方形边长的最小整数.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形,先求出该边长,再取最小整数.
甲:如图2,思路是当为矩形对角线长时就可移转过去;结果取n=14.
乙:如图3,思路是当为矩形外接圆直径长时就可移转过去;结果取n=14.
丙:如图4,思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去;结果取n=13.
甲、乙、丙的思路和结果均正确的是___________ .
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【题目】为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度,现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查(把调查结果分为四个等级:A级:非常满意;B级:满意;C级:基本满意;D级:不满意),并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解决下列问题:
(1)本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数______.
(2)图1中,∠α的度数是______,并把图2条形统计图补充完整.
(3)某县建档立卡贫困户有10000户,如果全部参加这次满意度调查,请估计非常满意的人数约为多少户?
(4)调查人员想从5户建档立卡贫困户(分别记为)中随机选取两户,调查他们对精准扶贫政策落实的满意度,请用列表或画树状图的方法求出选中贫困户的概率.
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【题目】问题发现:
(1)如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=90°,将线段AC绕点A逆时针旋转,旋转角α=2∠BAC, ∠BCD的度数是 ;线段BD,AC之间的数量关系是 .
类比探究:
(2)在Rt△ABC中,∠BAC=45°,∠ABC=90°,将线段AC绕点A逆时针旋转,旋转角α=2∠BAC,请问(1)中的结论还成立吗?;
拓展延伸:
(3)如图3,在Rt△ABC中,AB=2,AC=4,∠BDC=90°,若点P满足PB=PC,∠BPC=90°,请直接写出线段AP的长度.
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【题目】如图,在平行四边形中,,,过点作边的垂线交的延长线于点,点是垂足,连接、,交于点.则下列结论:①四边形是正方形;②;③;④,正确的个数是( )
A. B. C. D.
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【题目】2019年是新中国成立70周年,在“庆祝新中国成立70年华诞”主题教育活动月,深圳某学校组织开展了丰富多彩的活动,活动设置了“A:诗歌朗诵展演,B:歌舞表演,C:书画作品展览,D:手工作品展览”四个专项活动,每个学生限选一个专项活动参与.为了解活动开展情况,学校随机抽取了部分学生进行调查,并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图:
(1)本次随机调查的学生人数是 人;
(2)请你补全条形统计图;
(3)在扇形统计图中,“B”所在扇形的圆心角为 度.
(4)小涛和小华各自随机参与其中的一个专项活动,请你用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个专项活动的概率.
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【题目】如图,将圆心角为120°的扇形AOB绕着点A按逆时针方向旋转一定的角度后,得到扇形AO′B′,使得点O′ 恰在上.
(1)求作点O′;(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明过程)
(2)连接AB、AB'、AO′,求证:AO′平分∠BAB′.
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【题目】如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=4,点E是AB的中点,点F是AD边上的一个动点,将△AEF沿EF所在直线翻折,得到△A'EF,连接A'C,A'D,则当△A'DC是以A'D为腰的等腰三角形时,FD的长是_____.
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【题目】随着时代的不断发展,新颖的网络购进逐渐融入到人们的生活中,“拼一拼”电商平台上提供了一种拼团购买方式,当拼团(单数不超过15单)成功后商家将会让利一定的额度给予顾客实惠.现在某商家准备出手一种每件成本25元/件的新产品,经市场调研发现,单价y(单位:元)、日销售量m(单位:件)与拼单数x(单位:单)之间存在着如表的数量关系:
拼单数x(单位:单) | 2 | 4 | 8 | 12 |
单价y(单位:元) | 34.50 | 34.00 | 33.00 | 32.00 |
日销售量m(单位:件) | 68 | 76 | 92 | 108 |
请根据以上提供的信息解决下列问题:
(1)请直接写出单价y和日销售量m分别与拼单数x之间的一次函数关系式;
(2)拼单数设置为多少单时的日销售利润最大,最大的销售利润是多少?
(3)在实际销售过程中,厂家希望能有更多的商品出售,因此对电商每销售一件商品厂家就给予电商补助a元(a≤2),那么电商在获得补助之日后日销售利润能够随单数x的增大而增大,那么a的取值范围是什么?
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