Question

5．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D是斜边AB上任意一点，联结DC，过点C作CE⊥CD，垂足为点C，联结DE，使得∠EDC=∠A，联结BE．
（1）求证：AC•BE=BC•AD；
（2）设AD=x，四边形BDCE的面积为S，求S与x之间的函数关系式及x的取值范围；
（3）当S_△BDE=$\frac{1}{4}$S_△ABC时，求tan∠BCE的值．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定定理得到△CDE∽△CAB，由相似三角形的性质得到$\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}$，即CD•CB=CA•CE，由于∠BCE=∠ACD，$\frac{CB}{CA}=\frac{CE}{CD}$，即可得到△BCE∽△ACD，根据相似三角形的性质得到结论；
（2）根据勾股定理得到AC=4，由于△BCE∽△ACD，根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{△BCE}}{{S}_{△ACD}}$=（$\frac{BC}{AC}$）²=（$\frac{3}{4}$）²=$\frac{9}{16}$，即S_△BCE=$\frac{9}{16}$S_△ACD，过D作DF⊥AC于F，由AD=x，得到DF=$\frac{3}{5}$x，于是得到S=S_△ABC+S_△BCE-S_△ACD=S_△ABC-$\frac{7}{16}$S_△ACD-$\frac{7}{16}$×$\frac{1}{2}×4×\frac{3}{5}$x=6-$\frac{21}{40}$x（0＜x＜5）；
（3）根据相似三角形的性质得到∠A=∠CBE，BE=$\frac{3}{4}$x，推出∠DBE=90°，根据三角形的面积公式得到方程S_△BDE=$\frac{1}{2}$BD•BE=$\frac{1}{2}$（5-x）×$\frac{3}{4}$x=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{3}{2}$，解得x=1，或x=4，当x=1时，DF=$\frac{3}{5}$，AF=$\frac{4}{5}$，由于求得CF=4-$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{5}$，根据三角函数的定义求得tan∠BCE=tan∠ACD=$\frac{3}{16}$，当x=4时，DF=$\frac{12}{5}$，AF=$\frac{16}{5}$，于是得到CF=4-$\frac{16}{5}$=$\frac{4}{5}$，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠EDC=∠A，∠ACB=∠DCE，
∴△CDE∽△CAB，
∴$\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}$，
即：CD•CB=CA•CE，
∵∠BCE=∠ACD，$\frac{CB}{CA}=\frac{CE}{CD}$，
∴△BCE∽△ACD，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{BE}{AD}$，
即AC•BE=BC•AD；

（2）解：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=4，
∵△BCE∽△ACD，
∴$\frac{{S}_{△BCE}}{{S}_{△ACD}}$=（$\frac{BC}{AC}$）²=（$\frac{3}{4}$）²=$\frac{9}{16}$，
即S_△BCE=$\frac{9}{16}$S_△ACD，
过D作DF⊥AC于F，
∵AD=x，
∴DF=$\frac{3}{5}$x，
∴S=S_△ABC+S_△BCE-S_△ACD=S_△ABC-$\frac{7}{16}$S_△ACD-$\frac{7}{16}$×$\frac{1}{2}×4×\frac{3}{5}$x=6-$\frac{21}{40}$x（0＜x＜5）；

（3）解：∵△BCE∽△ACD，
∴∠A=∠CBE，BE=$\frac{3}{4}$x，
∴∠DBE=90°，S_△BDE=$\frac{1}{2}$BD•BE=$\frac{1}{2}$（5-x）×$\frac{3}{4}$x=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{3}{2}$，
解得：x=1，或x=4，
∵∠BCE=∠ACD，
当x=1时，DF=$\frac{3}{5}$，AF=$\frac{4}{5}$，
∴CF=4-$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{5}$，
∴tan∠BCE=tan∠ACD=$\frac{3}{16}$，
当x=4时，DF=$\frac{12}{5}$，AF=$\frac{16}{5}$，
∴CF=4-$\frac{16}{5}$=$\frac{4}{5}$，
∴tan∠BCE=tan∠ACD=3，
综上所述：tan∠BCE=$\frac{3}{16}$或3．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，三角形的面积的计算，证得△BCE∽△ACD是解题的关键．