Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：动点型

分析：（1）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA=BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC=BQ：BA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入计算即可．

解答：解：根据勾股定理得：BA=

62+82

=10；
（1）分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，

BP

BA

=

BQ

BC

，
∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，
∴

5t

10

=

8-4t

8

，解得，t=1，
②当△BPQ∽△BCA时，

BP

BC

=

BQ

BA

，
∴

5t

8

=

8-4t

10

，解得，t=

32

41

；
∴t=1或

32

41

时，△BPQ∽△BCA；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：
则PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM，
∵∠ACQ=∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴

AC

CM

=

CQ

MP

，
∴

6

8-4t

=

4t

3t

，解得t=

7

8

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．