Question

如图：OA⊥OB，OC⊥OD．
（1）∠AOC、∠BOD相等吗？为什么？
（2）写出∠AOD、∠BOC之间的关系，说明理由．
（3）若∠AOD=

4

5

∠BOC，求∠AOD．
（4）∠AOD和∠BOC的平分线是同一条射线吗，为什么？

Answer 1

考点：余角和补角,垂线

专题：

分析：（1）根据垂线的性质，可得∠AOB=90°，∠COD=90°，根据余角的性质：同角的余角相等，可得答案；
（2）∠AOD+∠BOC=180°，由∠AOB+∠COD=180°，可得∠AOB+∠AOC+∠AOD=180°，即∠BOC+∠AOD=180°；
（3）由（2）的结论：∠AOD+∠BOC=180°，将∠AOD=

4

5

∠BOC，代入即可；
（4）∠AOD和∠BOC的平分线是同一条射线．作∠AOD的角平分线OP，然后证明∠COP=∠BOP即可．

解答：解：（1）∵OA⊥OB，OC⊥OD，
∴∠AOB=90°，∠COD=90°，
即∠AOC+∠AOD=90°，∠BOD+∠AOD=90°，
∴∠AOC=∠BOD；
（2）∠AOD+∠BOC=180°，
∵∠AOB=90°，∠COD=90°，
∴∠AOB+∠COD=180°，
∴∠AOB+∠AOC+∠AOD=180°，
即∠BOC+∠AOD=180°；
（3）∵∠BOC+∠AOD=180°，∠AOD=

4

5

∠BOC，
∴∠BOC+

4

5

∠BOC=180°，
∴∠BOC=100°，
∴∠AOD=80°；
（4）作∠AOD的角平分线OP，

∵OP平分∠AOD，
∴∠AOP=∠DOP，
∵∠COA=∠BOD，
∴∠AOP+∠COA=∠DOP+∠BOD，
即∠COP=∠BOP，
∴OP是∠BOC的平分线，
故∠AOD和∠BOC的平分线是同一条射线．

点评：本题考查了余角和补角，利用余角的性质、垂直的性质、角平分线的性质及角的和差．解题的关键是：熟记这些性质．