Question

如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45°，⊙O的半径是3cm．
（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接OD，由∠AOD=2∠ACD=90°，结合AB∥DE，可得∠ODE=90°，可知DE为⊙O的切线；
（2）由条件可先求得梯形OBED的面积再减去扇形BOD的面积即可．

解答：解：（1）DE与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OD，
∵∠ACD=45°，
∴∠AOD=2∠ACD=90°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE=∠AOD=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）∵AB∥DE，AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE=6cm，且OB=OD=3cm，
∴S_梯形OBED=

1

2

（OB+DE）•OD=

1

2

×（3+6）×3=

27

2

（cm²），S_扇形OBD=

90π•OB2

360

=

1

4

×π×3²=

9π

4

（cm²），
∴S_阴影=S_梯形OBED-S_扇形OBD=（

27

2

-

9π

4

）（cm²）．

点评：本题主要考查切线的判定及扇形面积的计算，掌握切线的两种判定方法及扇形的面积公式是解题的关键．