Question

【题目】如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y= x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x= 上．

（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y= 经过点B（0，4）

∴c=4，

∵顶点在直线x= 上，

∴﹣ =﹣ = ，

∴b=﹣ ；

∴所求函数关系式为 ；

（2）解：在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，

∴AB= ，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BC=CD=DA=AB=5，

∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），

当x=5时，y= ，

当x=2时，y= ，

∴点C和点D都在所求抛物线上；

（3）解：设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，

设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，

则 ，

解得： ，

∴ ，

当x= 时，y= ，

∴P（ ），

（4）解：方法一：

∵MN∥BD，

∴△OMN∽△OBD，

∴ 即 得ON= ，

设对称轴交x于点F，

则 （PF+OM）OF= （ +t）× ，

∵ ，

S△PNF= ×NFPF= ×（ ﹣ t）× = ，

S= （﹣ ），

=﹣ （0＜t＜4），

a=﹣ ＜0∴抛物线开口向下，S存在最大值．

由S△PMN=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∴当t= 时，S取最大值是 ，

此时，点M的坐标为（0， ）．

方法二：

∵点B（0，4），D（2，0），∴KBD= =﹣2，，

∵MN∥BD，

∴KMN=KBD=﹣2，

∵M（0，t），∴lMN：y=﹣2x+t，当y=0时，x= ，

∴N（ ，0），

过点N作x轴的垂线交PM于H，

∵P（ ， ），∴lPM：y= x+t，

把x= 代入，得y= ，

∴HN= ，

∴S△PMN= HN×（PX﹣MX）= ，

当t= 时，S= ，

∴点M的坐标为（0， ）．

【解析】（1）把B点的坐标代入抛物线的解析式，求出C的值，根据对称轴得出b的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）利用勾股定理得出AB的长，利用菱形的性质得出BC=CD=DA=AB=5，从而得出C、D两点的坐标，再进行判断点C和点D是否在所求抛物线上；
（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，用待定系数法求出直线CD对应的函数关系式，再求出P点坐标即可；
（4）方法一：由MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，根据相似三角形的性质可得=由此即可表示出ON的长，由S= S 梯 形 P F O M- S △ M O N-S△PNF根据梯形的面积公式和三角形的面积公式表示出S，然后根据二次函数求最值得方法求解即可；方法二： 由B,D两点的坐标得出KBD=-2，由MN∥BD得KMN=KBD，进而求出N点坐标，过点N作x轴的垂线交PM于H，求出HN，根据三角形面积公式建立出函数模型，根据二次函数求最值得方法得出结论。
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a才能正确解答此题．