Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点．
（1）求证：DA=DB=DC；
（2）若E、F分别时线段AB、AC上的点，且AF=BE，试判断△DEF的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据中线定义和自己三角形斜边上的中线性质求出即可．
（2）根据直角三角形性质和等腰三角形性质求出∠FAD=∠B=∠C=∠EAD=45°，AD⊥BC，证△EBD≌△FAD，推出DE=DF，∠BED=∠ADF，求出∠EDF=∠ADB=90°，即可得出答案．

解答：（1）证明：∵在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点．
∴DB=DC

1

2

BC，DA=

1

2

BC，
∴DA=DB=DC；

（2）解：△DEF是等腰直角三角形，
理由是：∵在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴∠FAD=∠B=∠C=∠EAD=45°，AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
在△EBD和△FAD中

BD=AD ∠B=∠FAD BE=AF

∴△EBD≌△FAD，
∴DE=DF，∠BED=∠ADF，
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠EDB=∠ADB=90°，
即△EDF是等腰三角形三角形．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．