Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y=ax2+bx+c交于A，B(点A在点B的左侧)两点，点C是该抛物线上任意一点，过C点作平行于y轴的直线交AB于D，分别过点A，B作直线CD的垂线，垂足分别为点E，F．

特例感悟：

（1）已知：a=-2，b=4，c=6．

①如图①，当点C的横坐标为2，直线AB与x轴重合时，CD=____，|a|·AE·BF=___．

②如图②，当点C的横坐标为1，直线AB//x轴且过抛物线与y轴的交点时，CD=_____，|a|·AE·BF=_______．

③如图③，当点C的横坐标为2，直线AB的解析式为y=x-3时，CD=___，|a|·AE·BF=___．

猜想论证：

（2）由（1）中三种情况的结果，请你猜想在一般情况下CD与|a|·AE·BF之间的数量关系，并证明你的猜想．拓展应用．

（3）若a=-1，点A，B的横坐标分别为-4，2，点C在直线AB的上方的抛物线上运动(点C不与点A，B重合)，在点C的运动过程中，利用（2）中的结论求出△ACB的最大面积．

Answer 1

【答案】（1）①6，6；②2，2；③7，7；（2），见解析；（3）27

【解析】

(1)①求得点A、B、C的坐标，得到点E、D、F三点重合，即可求得CD的长以及|a|·AE·BF的值；

②求得点A、B、C的坐标，得到点E、D、F三点重合，即可求得CD的长以及|a|·AE·BF的值；

③解方程组求得点A、B的坐标，再求得点C、D的坐标，即可求得CD的长以及|a|·AE·BF的值；

(2)利用参数法，设A、B、C三横坐标分别为：，直线AB的解析式为，根据一元二次方程根与的关系，求得|a|·AE·BF，再利用两点之间距离公式求得CD，即可证明；

(3)设点C的横坐标为，△ACB的面积为S，根据，点A，B的横坐标分别为-4，2，得到，，，利用三角形面积公式即可得到关于x的二次函数，利用二次函数的最值即可求解．

(1)已知：，则抛物线的解析式为，

①令，则或,

∴点A、B的坐标分别为，

∵点C的横坐标为2，

∴点C的坐标为

∵直线AB与x轴重合，

∴点E、D、F三点重合，

如图：

∴CD=6，

|a|·AE·BF=；

②令，则,

∴点A的坐标为

抛物线的对称轴为，

∵直线AB//x轴，

∴点B的坐标分别为

∵点C的横坐标为1，

∴点C的坐标为

∵直线AB//x轴，

∴点E、D、F三点重合，

如图：

∴CD=8-6=2，

|a|·AE·BF=；

③解方程组得：或，

∴点A、B的坐标分别为，

∵点C的横坐标为2，

∴点C的坐标为

∵直线CD平行于y轴，

∴点D的横坐标为2，

把代入得：，

∴点D的坐标为

如图：

∴CD=CF-FD=6+1=7，

|a|·AE·BF=；

(2)数量关系为：，

理由如下：

设A、B、C三横坐标分别为：，直线AB的解析式为，

联立方方程和，消去并整理得：

，

∵是方程的两根，

∴，，

则，，

∴·AE·BF=

，

又∵点C的横坐标为t，

∴点C的坐标为

∵直线CD平行于y轴，

∴点D的横坐标为t，

把代入得：，

∴点D的坐标为

∴CD=

=，

∴CD=·AE·BF；

(2)设点C的横坐标为，△ACB的面积为S，

过点C作CD平行于y轴交AB于D，

∵点A、B的横坐标分别为-4、2，

则，，

∵，点A，B的横坐标分别为-4，2，

则抛物线的解析式为，

∴点A、B的坐标分别为，

设直线AB的解析式为，则，

解得：，

∴直线AB的解析式为，

∴点C的坐标为点D的坐标为

∴，

∵，

由于，

∴当时，．