Question

11．如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x+1的图象上，阴影图形的面积从左向右依次记为S₁，S₂，S₃…S_n，则S_n的值为（　　）

• A． S_n=3×2²ⁿ⁺¹
• B． S_n=3×2²ⁿ⁺³
• C． S_n=3×2^2n-3
• D． S_n=3×2²ⁿ

Answer 1

分析 根据直线解析式判断出直线与x轴的夹角为45°，从而得到直线与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，再根据点A的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第n个和第n+1个正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积再减去一个钝角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可．

解答 解：∵函数y=x与x轴的夹角为45°，
∴直线y=x+1与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，
∴A₁（0，1），A₂（1，2），A₃（3，4），
∴第1个正方形的边长为1，
第2个正方形的边长为2，
第3个正方形的边长为4，
第4个正方形的边长为8，
…，
第n个正方形的边长为2^n-1，
由图可知，S₁=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×2×1=$\frac{3}{2}$，
S₂=$\frac{1}{2}$×4×4+$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×4×2=6，
…，
第n个正方形的边长为2^n-1，第n+1个正方形的边长为2ⁿ，
S_n=$\frac{1}{2}$•2^n-1•2^n-1+$\frac{1}{2}$•2ⁿ•2ⁿ-$\frac{1}{2}$•2•2^n-1=3×2^2n-3．
故选C．

点评 本题考查了正方形的性质，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，依次求出各正方形的边长是解题的关键，难点在于求出阴影S_n所在的正方形和正方形的边长．