Question

【题目】如图，正方形ABCD是一张边长为12公分的皮革．皮雕师傅想在此皮革两相邻的角落分别切下△PDQ与△PCR后得到一个五边形PQABR，其中PD=2DQ，PC=RC，且P、Q、
R三点分别在CD、AD、BC上，如图所示．

（1）当皮雕师傅切下△PDQ时，若DQ长度为x公分，请你以x表示此时△PDQ的面积．
（2）承（1），当x的值为多少时，五边形PQABR的面积最大？请完整说明你的理由并求出答案．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设DQ=x公分，

∴PD=2DQ=2x公分，

∴S△PDQ= x×2x=x2（平方公分）

（2）

解：∵PD=2x公分，CD=12公分，

∴PC=CR=12﹣2x（公分），

∴S五边形PQABR=S正方形ABCD﹣S△PDQ﹣S△PCR

=122﹣x2﹣ （12﹣2x）2

=144﹣x2﹣ （144﹣48x+4x2）

=144﹣x2﹣72+24x﹣2x2

=﹣3x2+24x+72=

﹣3（x2﹣8x+42）+72+3×16

=﹣3（x﹣4）2+120，

故当x=4时，五边形PQABR有最大面积为120平方公分．

【解析】（1）根据条件表示出PD，从而得到△PDQ的面积；
　　　　（2）分别求出正方形ABCD的面积，△PDQ，△PCR的面积，再作差求出五边形的面积，最后确定出取极值时的x值．此题是四边形综合题，主要考查了三角形面积的计算，五边形面积的计算方法，解本题的关键是三角形的面积的计算．
【考点精析】利用三角形的面积对题目进行判断即可得到答案，需要熟知三角形的面积=1/2×底×高．