Question

【题目】如图1，矩形ABCD中，∠ACB＝30°，将△ACD绕C点顺时针旋转α（0°＜α＜360°）至△A'CD'位置．

（1）如图2，若AB＝2，α＝30°，求S△BCD′．

（2）如图3，取AA′中点O，连OB、OD′、BD′．若△OBD′存在，试判定△OBD′的形状．

（3）当α＝α1时，OB＝OD′，则α1＝　 　°；当α＝α2时，△OBD′不存在，则α2＝　 　°．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）△OBD′是直角三角形；（3）90°或270°，240°或300°．

【解析】

（1）作D'E⊥BC于E，由直角三角形的性质得出BC=2，CE=CD'=1，D'E=，由三角形面积公式即可得出答案；
（2）连接OC，证明A、B、C、O四点共圆，由圆周角定理得出∠BOC=∠BAC=60°，同理A'、D'、C、O四点共圆，得出∠D'OC=∠D'A'C=30°，证出∠BOD'=90°即可；
（3）若B、C、D'三点不共线，证出BC=CD，这与已知相矛盾，得出B、C、D'三点共线；当α=α1时，OB=OD′，分两种情况：当点D'在BC的延长线上和当点D'在边BC上；当α=α2时，△OBD′不存在时，分两种情况：当O与D'重合时，当O与B重合时，由等腰三角形的性质和等边三角形的性质即可得出答案．

解：（1）作D'E⊥BC交BC的延长线于E，如图2所示：

则∠E=90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，AB∥CD，AD∥BC，CD=AB=2，

∴∠ACD=∠BAC，∠DAC=∠ACB=30°，

∵∠ACB=30°，

∴BC=AB=2，∠ACD=∠BAC=60°，

由旋转的性质得：CD'=CD=2，∠ACA'=30°，

∴∠D'CE，

∴∠CD'E，

∴CE=CD'=1，D'E=CE=，

∴S△BCD′=BC×D'E=×2×=3；

（2）△OBD′是直角三角形，理由如下：

连接OC，如图3所示：

由旋转的性质得：CA'=CA，∠A'D'C=∠ADC=90°，∠D'A'C=∠DAC=30°，

∵O是AA′的中点，

∴OC⊥AA'，

∴∠AOC=∠A'OC==∠ABC=∠A'D'C，

∴∠ABC+∠AOC=180°，

∴A、B、C、O四点共圆，

∴∠BOC=∠BAC=60°，

同理；A'、D'、C、O四点共圆，

∴∠D'OC=∠D'A'C=30°，

∴∠BOD'=90°，

∴△BOD'是直角三角形；

（3）若B、C、D'三点不共线，如图3所示：

由（2）得：∠OBC=∠OAC，∠OD'C=∠OA'C，∠OAC=∠OA'C，

∴∠OBC=∠OD'C，

∵OB=O D'，

∴∠OBD'=∠OD'B，

∴∠CBD'=∠CD'B，

∴CB=CD'，

∵CD'=CD，

∴BC=CD，这与已知相矛盾，

∴B、C、D'三点共线；

分两种情况：当点D'在BC的延长线上时，如图4所示：

∵∠ACB＝，∠A'CD'=∠ACD＝，

∴∠AC A'，

∴α=α1；

当点D'在边BC上时，如图5所示：

∵∠ACB＝，∠A'CD'=∠ACD＝，

∴∠AC A'＝，

∴α=α1；

故答案为：90°或270；

当α=α2时，△OBD′不存在时，分两种情况：

当O与D'重合时，如图6所示：

∵CA'=CA，∠CAD'=∠CA'D'=，

∴∠ACA'=120°，

∴α=α2；

当O与B重合时，如图7所示：

则AA'=2AB=4，

∵CA=CA'=2AB=4=AA'，

∴△ACA'是等边三角形，

∴∠A'CA=60°，

∴α=α2；

故答案为：240°或300．