Question

【题目】规定：满足（1）各边互不相等且均为整数；（2）最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k。这样的三角形称为比高三角形，其中k叫做比高系数。根据规定解答下列问题：

（1）周长为13的比高三角形的比高系数k= ；

（2）比高三角形△ABC三边与它的比高系数k之间满足BC-AC=AC-AB=k2，求△ABC的周长的最小值。

Answer 1

【答案】（1）k=3或2；（2）△ABC的周长的最小值36

【解析】

（1）由三角形面积可知最短边上的高与最长边上的高的比值等于最长边与最短边的比值为整数k，因此根据三角形的周长确定出其三边长，求其最长边与最短边的比值即可；

（2）由题意可知当K=2时△ABC的周长有最小值，可设AB为 x ，AC为y，BC=2x，根据BC-AC=AC-AB=k2，列出关于x,y的二元一次方程组，求解即可.

（1）由三角形面积可知最短边上的高与最长边上的高的比值等于最长边与最短边的比值为整数k，周长为13，各边互不相等且均为整数的三角形只有三个分别为 2，5，6或3，4，6，所以k=3或2

（2）∵各边互不相等且均为整数

∴k≥2

∴k2 ≥4

∴当k=2时△ABC的周长有最小值。

设AB为 x ，AC为y，BC=2x

列方程组得

解得方程组得

2x=16

∴△ABC的周长的最小值为.