Question

7．已知Rt△ABC≌Rt△DBE，∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D．
（1）将两三角形按图①方式摆放，其中点E落在AB上，DE所在直线交边AC于点F．求证：AF+EF=DE；
（2）若将两三角形按照图②方式摆放，边AC的延长线与DE相交于点F．你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由Rt△ABC≌Rt△DBE推出BC=BE，连接BF，根据HL证Rt△BCF≌Rt△BEF，推出CF=EF即可；
（2）猜想（1）结论不成立，关系式是AF=EF+DE，连接BF，根据HL证Rt△BEF≌Rt△BCF，推出EF=FC，由AF=AC+FC可推出AF=DE+EF．

解答 （1）证明：由Rt△ABC≌Rt△DBE知：BC=BE．
连接BF．
∵在Rt△BCF和Rt△BEF中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BE}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴CF=EF，
∵AC=DE，CF+FA=CA，
∴AF+EF=DE；


（2）解：（1）中猜想结论不成立，关系式是AF=EF+DE．理由是：
连接BF．
在Rt△BEF和Rt△BCF中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BC}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL），
∴EF=FC，
∵AC=DE，
由AF=AC+FC知：AF=DE+EF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，通过构建全等三角形来得出简单的线段相等是解题的关键．