Question

3．如图，已知一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+b的图象经过点A（2，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA．
（1）求此一次函数的解析式，并求出一次函数与x轴的交点C的坐标；
（2）设点P为直线y=-$\frac{1}{2}$x+b在第一象限内的图象上的一动点，求△OBP的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的范围；
（3）设点M为坐标轴上一点，且S_△MAC=24，直接写出所有满足条件的点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入一次函数的解析式得：-$\frac{1}{2}$×2+b=3，解得b=4，求得一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}x$+4，将y=0代入解得x=8，点C的坐标为（8，0）；
（2）过点P作PD⊥OC，垂足为D．设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{2}x+4$），则DP=$-\frac{1}{2}x+4$，由点A的坐标为（2，3）可知点B的坐标为（2，0），故此OB=2，由三角形的面积公式可知S=$-\frac{1}{2}x+4$；
（3）分为点M在x轴上和y轴上两种情况画出图形，然后再根据三角形的面积公式列出关于点M坐标的方程求解即可．

解答 解：（1）∵将x=2，y=3代入得：-$\frac{1}{2}$×2+b=3，解得：b=4，
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}x+4$．
∵将y=0代入得：$-\frac{1}{2}x+4$=0，解得x=8．
∴点C的坐标为（8，0）．
（2）如图1所示：过点P作PD⊥OC，垂足为D．

设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{2}x+4$），则DP=$-\frac{1}{2}x+4$．
∵AB⊥OC，A（2，3），
∴点B（2，0）．
∴OB=2．
∴${S}_{△POB}=\frac{1}{2}OB•PD$=$\frac{1}{2}×2×（-\frac{1}{2}x+4）$=-$\frac{1}{2}x+4$．
∴S=-$\frac{1}{2}x+4$（0＜x＜8）．
（3）如图2所示：

①当点M在x轴上且位于点C左侧时，设点M的坐标为（a，0），则MC=8-a．
∵S_△MAC=24，
∴$\frac{1}{2}MC•AB=24$，即$\frac{1}{2}（8-a）×3=24$．
解得：a=-8．
∴点M的坐标为（-8，0）．
②当点M位于点M′处时，设点M′的坐标为（a，0），则M′C=a-8．
∵S_△MAC=24，
∴$\frac{1}{2}M′C•AB=24$，即$\frac{1}{2}（a-8）×3=24$．
解得：a=24．
∴点M的坐标为（24，0）．
如图3所示：

∵将x=0代入y=-$\frac{1}{2}x+4$得：y=4．
∴点D的坐标为（0，4）．
③当点M位于点D的下方时，设点M的坐标为（0，a），则DM=4-a．
∵S_△ACM=S_△MCD-S_△MDA=24，
∴$\frac{1}{2}×（4-a）×8$-$\frac{1}{2}×（4-a）×2$=24．
解得：a=-4．
∴点M的坐标为（0，-4）．
④当点M位于点M′处时，设点M的坐标为（0，a），则DM=a-4．
∵S_△ACM=S_△MCD-S_△MDA=24，
∴$\frac{1}{2}×（a-4）×8-\frac{1}{2}×（a-4）×2$=24．
解得：a=12．
∴点M的坐标为（0，12）．
综上所述，点M的坐标为M（-8，0）或M（24，0）或M（0，12）或M（0，-4）．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用、求函数的关系式、三角形的面积公式，根据题意画出图形，并根据三角形的面积公式列出关于a的方程是解题的关键．