Question

11．如图，点A，C，E在一条直线上，已知ABC和△EDC都是等边三角形，AD，BE相交于点O，AD，BC相交于点F，CD，BE相交于点G．连接FG和OC．
（1）试证明：AD=BE；
（2）小明认为还可以得到如下结论：①AF=BG；②FG∥AE；③∠AOC=∠EOC．你认为其中正确的有①②③（填序号即可）．并选择一个正确结论进行证明；
（3）试猜想线段OC，OD，OE之间有何数量关系？并证明你的猜想的正确性．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形性质得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，求出∠BCE=∠ACD，根据SAS推出两三角形全等即可；
（2）连接OC，根据三角形的内角和得到∠AOB=60°，于是得到∠ODC+∠DEO=60°，求得∠ODC=∠CEO，同理∠OCD=∠DEO，于是得到∠COE=60°，同理∠AOC=60°，求得∠AOC=∠EOC；故③正确；根据三角形的内角和和已知条件得到∠DFG+∠FDG=60°，于是得到∠FGD=∠ACD=120°，证得PQ∥AE，故②正确；根据平行线的性质得到∠CFG=∠ACB=60°，由∠FCG=60°，于是得到△CFG为等边三角形，得到CF=CG，推出△ACF≌△BCG，根据全等三角形的性质得到AF=BG；故①正确；
（3）在OE上截取OH=OC，推出OC=OH=CH，根据等边三角形的性质∠OCH=60°，于是得到∠OCG=∠HCE，证得△OCD≌△HCE，根据全等三角形的性质得到HE=OD，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE；

（2）正确的有①②③，
证明：连接OC，
∵∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°，∠OBC=∠CAO，
∴∠AOB+∠ABC+∠BAC=180°，
∴∠AOB=60°，
∵∠EOD+∠EDO+∠OED=180°，
∴∠ODC+∠DEO=60°，
∴∠ODC=∠CEO，
同理∠OCD=∠DEO，
∴∠COE=60°，
同理∠AOC=60°，
∴∠AOC=∠EOC；故③正确；
∵∠FGD+∠DFG+∠FDG=180°，
∵∠DFG=∠DEO，∠FDG=∠CEO，
∴∠DFG+∠FDG=60°
∴∠FGD=∠ACD=120°，
∴PQ∥AE，故②正确；
∵FG∥AE
∴∠CFG=∠ACB=60°，
∵∠FCG=60°，
∴△CFG为等边三角形，
∴CF=CG，
在△ACF与△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{∠ACB=∠BCG}\\{CF=CG}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCG，
∴AF=BG；故①正确；
故答案为：①②③；

（3）在OE上截取OH=OC，
∵∠COE=60°，
∴OC=OH=CH，
∴∠OCH=60°，
∴∠OCG=∠HCE，
在△OCD与△HCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=HC}\\{∠OCD=∠HCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△HCE，
∴HE=OD，
∵OE=OH+HE，
∴OE=OC+OD．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，考查了平行线的运用，考查了正三角形的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．