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【题目】如图,已知直线y=-x+3x轴、y轴分别交于AB两点,抛物线y=-x2+bx+c经过AB两点,点P在线段OA上,从点O出发,向点A1个单位/秒的速度匀速运动;同时,点Q在线段AB上,从点A出发,向点B个单位/秒的速度匀速运动,连接PQ,设运动时间为t秒.

1)求抛物线的解析式;

2)问:当t为何值时,△APQ为直角三角形;

3)过点PPE∥y轴,交AB于点E,过点QQF∥y轴,交抛物线于点F,连接EF,当EF∥PQ时,求点F的坐标;

4)设抛物线顶点为M,连接BPBMMQ,问:是否存在t的值,使以BQM为顶点的三角形与以OBP为顶点的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.

【答案】1y=-x2+2x+3;(2t=1t=;(3)点F的坐标为(23).(4

【解析】

试题(1)先由直线AB的解析式为y=-x+3,求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标,再将AB两点的坐标代入y=-x2+bx+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式;

2)由直线与两坐标轴的交点可知:∠QAP=45°,设运动时间为t秒,则QA=tPA=3-t,然后再图、图中利用特殊锐角三角函数值列出关于t的方程求解即可;

3)设点P的坐标为(t0),则点E的坐标为(t-t+3),则EP=3-t,点Q的坐标为(3-tt),点F的坐标为(3-t-3-t2+23-t+3),则FQ=3t-t2EP∥FQEF∥PQ,所以四边形为平行线四边形,由平行四边形的性质可知EP=FQ,从而的到关于t的方程,然后解方程即可求得t的值,然后将t=1代入即可求得点F的坐标;

4)设运动时间为t秒,则OP=tBQ=3-t,然后由抛物线的解析式求得点M的坐标,从而可求得MB的长度,然后根据相似相似三角形的性质建立关于t的方程,然后即可解得t的值.

试题解析:(1∵y=-x+3x轴交于点A,与y轴交于点B

y=0时,x=3,即A点坐标为(30),

x=0时,y=3,即B点坐标为(03),

A30),B03)代入y=-x2+bx+c

,解得

抛物线的解析式为y=-x2+2x+3

2∵OA=OB=3∠BOA=90°

∴∠QAP=45°

如图所示:∠PQA=90°时,设运动时间为t秒,则QA=tPA=3-t

Rt△PQA中,,即:,解得:t=1

如图所示:∠QPA=90°时,设运动时间为t秒,则QA=tPA=3-t

Rt△PQA中,,即:,解得:t=

综上所述,当t=1t=时,△PQA是直角三角形;

3)如图所示:

设点P的坐标为(t0),则点E的坐标为(t-t+3),则EP=3-t,点Q的坐标为(3-tt),点F的坐标为(3-t-3-t2+23-t+3),则FQ=3t-t2

∵EP∥FQEF∥PQ

∴EP=FQ.即:3-t=3t-t2

解得:t1=1t2=3(舍去).

t=1代入F3-t-3-t2+23-t+3),得点F的坐标为(23).

4)如图所示:

设运动时间为t秒,则OP=tBQ=3-t

∵y=-x2+2x+3=-x-12+4

M的坐标为(14).

∴MB=

△BOP∽△QBM时,即:,整理得:t2-3t+3=0

△=32-4×1×30,无解:

△BOP∽△MBQ时,即:,解得t=

t=时,以BQM为顶点的三角形与以OBP为顶点的三角形相似.

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7

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9

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10

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9

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