Question

20．阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述，其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如：（2+$\sqrt{3}$）（2-$\sqrt{3}$）=1，2+$\sqrt{3}$与2-$\sqrt{3}$的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$可以这样解：$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{（2+\sqrt{3}）（2+\sqrt{3}）}{（2-\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）}=\frac{7+4\sqrt{3}}{1}=7+4\sqrt{3}$，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：①$4+\sqrt{7}$的有理化因式是4-$\sqrt{7}$
②计算：$\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\sqrt{27}-6\sqrt{\frac{1}{3}}$
③计算：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…$+\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}$．

Answer 1

分析 ①根据平方差公式，可得答案；
②根据平方差公式，二次根式的乘除法，可得答案；
③根据分母有理化，可得二次根式的加减，根据二次根式的加减，可得答案．

解答 解：①$4+\sqrt{7}$的有理化因式是 4-$\sqrt{7}$．
故答案为：4-$\sqrt{7}$．
②$\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\sqrt{27}-6\sqrt{\frac{1}{3}}$
=$\frac{2-\sqrt{3}}{（2+\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）}$+3$\sqrt{3}$-6$\sqrt{\frac{1×3}{3×3}}$
=2-$\sqrt{3}$+3$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$
=2；
③$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…$+\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$
=$\sqrt{2016}$-1．

点评 本题考查了分母有理化，利用平方差公式是解题关键．