Question

【题目】如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于点A、B，AB=2，

（1）求k的值；

（2）若反比例函数y=的图象上存在一点C，则当△ABC为直角三角形，请直接写出点C的坐标．

Answer 1

【答案】（1）k=2（2）当△ABC为直角三角形，点C的坐标为（﹣4，﹣）、（4，）、（﹣2，﹣1）或（2，1）

【解析】分析：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，由点A、B的对称性可求出OA的值，根据点在直线上，设点A的坐标为（a，2a），在Rt△OAD中，通过勾股定理即可求出A的坐标，由点A的坐标利用待定系数法即可求出结论；

（2）由点A、B的对称性，结合点A的坐标求出点B的坐标，根据点C在反比例函数上，设出点C的坐标为（n，），分△ABC三个角分别为直角来考虑，利用“两直线垂直斜率之积为-1（斜率都存在）”求出点C的坐标.

详解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，如图1所示．

由题意可知点A与点B关于点O中心对称，且AB=2，∴OA=OB=．

设点A的坐标为（a，2a），在Rt△OAD中，∠ADO=90°，由勾股定理得：

a2+（2a）2=（）2，解得：a=1，∴点A的坐标为（1，2）．

把A（1，2）代入y=中得：2=，解得：k=2．

（2）∵点A的坐标为（1，2），点A、B关于原点O中心对称，

∴点B的坐标为（﹣1，﹣2）．设点C的坐标为（n，），

△ABC为直角三角形分三种情况：

①∠ABC=90°，则有AB⊥BC，=﹣1，即n2+5n+4，

解得：n1=﹣4，n2=﹣1（舍去），此时点C的坐标为（﹣4，﹣）；

②∠BAC=90°，则有BA⊥AC，=﹣1，即n2﹣5n+4=0，

解得：n3=4，n4=1（舍去），此时点C的坐标为（4，）；

③∠ACB=90°，则有AC⊥BC，=﹣1，即n2=4，解得：n5=﹣2，n6=2，

此时点C的坐标为（﹣2，﹣1）或（2，1）．综上所述：当△ABC为直角三角形，点C的坐标为（﹣4，﹣）、（4，）、（﹣2，﹣1）或（2，1）．