Question

【题目】对于二次函数 y=ax2+（b+1）x+（b﹣1），若存在实数 x0，使得当 x=x0，函数 y=x0，则称x0 为该函数的“不变值”.

（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；

（2）对任意实数 b，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若该图象上 A、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值.

Answer 1

【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－

【解析】

（1）先确定二次函数解析式为y=x2-x-3，根据xo是函数y的一个不动点的定义，把（xo，xo）代入得x02-x0-3=xo，然后解此一元二次方程即可；

（2）根据xo是函数y的一个不动点的定义得到axo2+（b+1）xo+（b-1）=xo，整理得ax02+bxo+（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，把b2-4ab+4a看作b的二次函数，由于对任意实数b，b2-4ab+4a>0成立，则（4a）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.

（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a，b之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得.

解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x2-x-3，把（xo，xo）代入得x02-x0-3=xo，解得xo=-1或xo=3，所以函数y的不动点为-1和3；

（2）因为y=xo，所以axo2+（b+1）xo+（b-1）=xo，即ax02+bxo+（b-1）=0，

因为函数y恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，而对任意实数b，b2-4ab+4a>0成立，所以（4a）2-4.4a<0，解得0<a<1.

（3）设A（x1，x1），B（x2，x2），则x1+x2

A，B的中点的坐标为（ ），即M（ ）

A、B两点关于直线y=kx-2a+3对称，

又∵A，B在直线y=x上，

∴k=-1，A，B的中点M在直线y=kx-2a+3上.

∴= -2a+3 得：b=2a2-3a

所以当且仅当a= 时，b有最小值－