【题目】问题情境:
在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A(x1,y1)和点B(x2,y2),小明在学习中发现,若x1=x2,则AB∥y轴,且线段AB的长度为|y1﹣y2|;若y1=y2,则AB∥x轴,且线段AB的长度为|x1﹣x2|;
(应用):
(1)若点A(﹣1,1)、B(2,1),则AB∥x轴,AB的长度为 .
(2)若点C(1,0),且CD∥y轴,且CD=2,则点D的坐标为 .
(拓展):
我们规定:平面直角坐标系中任意不重合的两点M(x1,y1),N(x2,y2)之间的折线距离为d(M,N)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|;例如:图1中,点M(﹣1,1)与点N(1,﹣2)之间的折线距离为d(M,N)=|﹣1﹣1|+|1﹣(﹣2)|=2+3=5.
解决下列问题:
(1)已知E(2,0),若F(﹣1,﹣2),求d(E,F);
(2)如图2,已知E(2,0),H(1,t),若d(E,H)=3,求t的值;
(3)如图3,已知P(3,3),点Q在x轴上,且三角形OPQ的面积为3,求d(P,Q).
【答案】【应用】:(1)3;(2)(1,2)或(1,﹣2);【拓展】:(1)5;(2)t=±2;(3)d(P,Q)的值为4或8.
【解析】
(1)根据若y1=y2,则AB∥x轴,且线段AB的长度为|x1-x2|,代入数据即可得出结论;
(2)由CD∥y轴,可设点D的坐标为(1,m),根据CD=2即可得出|0-m|=2,解之即可得出结论;
【拓展】:(1)根据两点之间的折线距离公式,代入数据即可得出结论;
(2)根据两点之间的折线距离公式结合d(E,H)=3,即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程,解之即可得出结论;
(3)由点Q在x轴上,可设点Q的坐标为(x,0),根据三角形的面积公式结合三角形OPQ的面积为3即可求出x的值,再利用两点之间的折线距离公式即可得出结论.
解:【应用】:
(1)AB的长度为|﹣1﹣2|=3.
故答案为:3.
(2)由CD∥y轴,可设点D的坐标为(1,m),
∵CD=2,
∴|0﹣m|=2,解得:m=±2,
∴点D的坐标为(1,2)或(1,﹣2).
【拓展】
:
(1)d(E,F)=|2﹣(﹣1)|+|0﹣(﹣2)|=5.
故答案为:5.
(2)∵E(2,0),H(1,t),d(E,H)=3,
∴|2﹣1|+|0﹣t|=3,
解得:t=±2.
(3)由点Q在x轴上,可设点Q的坐标为(x,0),
∵三角形OPQ的面积为3,
∴|x|×3=3,解得:x=±2.
当点Q的坐标为(2,0)时,d(P,Q)=|3﹣2|+|3﹣0|=4;
当点Q的坐标为(﹣2,0)时,d(P,Q)=|3﹣(﹣2)|+|3﹣0|=8
综上所述,d(P,Q)的值为4或8.
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【题目】小刚和小强从两地同时出发,小刚骑自行车,小强步行,沿同一条路线相向匀速而行.出发后两小时两人相遇,相遇时小刚比小强多行进24千米.相遇后0.5小时小刚到达地.
(1)两人的行进速度分别是多少?
(2)相遇后经过多少时间小强到达地?
(3)两地相距多少千米?
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【题目】如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=3cm,AD=5cm,折叠纸片使B点落在边AD上的E处,折痕为PQ,过点E作EF∥AB交PQ于F,连接BF.
(1)求证:四边形BFEP为菱形;
(2)当点E在AD边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动;
①当点Q与点C重合时(如图2),求菱形BFEP的边长;
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动,求出点E在边AD上移动的最大距离.
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【题目】如图,图形中每一小格正方形的边长为1,已知△ABC
(1)AC的长等于 .(结果保留根号)
(2)将△ABC向右平移2个单位得到△A′B′C′,则A点的对应点A′的坐标是 ;
(3)画出将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1,并写出A点对应点A1的坐标?
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【题目】如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE,连接BE、CD,交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;
(2)求证:过点A、F的直线垂直平分线段BC.
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【题目】(10分)如图,已知△ABC为等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F。
(1)求证:△ABE≌△CAD;(2)求∠BFD的度数。
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【题目】根据材料,解答问题
如图,数轴上有点,对应的数分别是6,-4,4,-1,则两点间的距离为;两点间的距离为;两点间的距离为;由此,若数轴上任意两点分别表示的数是,则两点间的距离可表示为.反之,表示有理数在数轴上的对应点之间的距离,称之为绝对值的几何意义.
问题应用1:
(1)如果表示-1的点和表示的点之间的距离是2,则点对应的的值为___________;
(2)方程的解____________;
(3)方程的解______________ ;
问题应用2:
如图,若数轴上表示的点为.
(4)的几何意义是数轴上_____________,当__________,的值最小是____________;
(5)的几何意义是数轴上_______,的最小值是__________,此时点在数轴上应位于__________上;
(6)根据以上推理方法可求的最小值是___________,此时__________.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,点E在边AB上,AE=1,若点P为对角线BD上的一个动点,则△PAE周长的最小值是( )
A.3B.4C.5D.6
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