Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（–1，0），且直线BC的解析式为y=x-2，作垂直于x轴的直线，与抛物线交于点F，与线段BC交于点E（不与点B和点C重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若△CEF是以CE为腰的等腰三角形，求m的值；

（3）点P为y轴左侧抛物线上的一点，过点P作交直线BC于点M，连接PB，若以P、M、B为顶点的三角形与△ABC相似，求P点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）符合条件的点P为P1（-1，0）或

【解析】

（1）将y=0代入y=x-2中，即可求出点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）先分别用m表示出点E和点F的坐标，然后根据勾股定理分别求出CE2、CF2和EF2，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别求出对应的m值即可；

（3）根据勾股定理的逆定理证出△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，然后根据相似三角形的对应情况分类讨论，利用相似三角形的判定及性质和锐角三角函数即可求出结论．

解：（1） 由题意得：

将y=0代入y=x-2中，得x=4

∴点B的坐标为（4,0）

将A（-1，0），B（4，0）代入得

，

解得，

（2）

∴

（i） 若以C为等腰三角形的顶点，则CE2=CF2

∴

解得：m1=2，m2=4（不符合前提条件，故舍去）；

（ii） 若以E为等腰三角形的顶点，则EC2=EF2

∴

解得：（不符合前提条件，故舍去）；

综上：m=2或

（3） ①根据勾股定理可得：AC==，BC==，AB=5

∴AC2+BC2=25=AB2，

∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°

∴当点P与点A重合时，点M与点C重合，此时P1（-1，0），

②如图，当△BPM∽△ABC时，

∴∠BPM=∠ABC

过点M作HR∥x轴，作PH⊥HR于点H，BR⊥HR与点R，

∴∠PHM=∠MRB=∠PMB=90°

∴∠HPM＋∠PMH=90°，∠RMB＋∠PMH=90°

∴∠HPM=∠RMB

∴△PHM∽△MRB

∴

又∵AB//HR

∴

∴

令BR=a，MR=2a

又∵

∴

∴

∴PH=4a，HM=2a，PQ=3a，

又∵点P在抛物线上，将代入

整理，得

解得：（舍），

∴

∴符合条件的点P为P1（-1，0）或