抛物线C:y=$\frac{1}{4}$x2+bx+c的顶点(1)求抛物线C的解析式,(2)直线l:y=kx+b与抛物线C交于A.B两点①当b=-4时.若线段AB被x轴平分.求k的值,②当k=1时.若线段AB=4$\sqrt{10}$.求b的值,(3)抛物线C的顶点平移到原点.得新抛物线C1.抛物线C1上一点M.过点M作抛物线的两条弦MD和MC.且MD⊥MC.判断直线DC是否过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．抛物线C：y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c的顶点（1，-2）
（1）求抛物线C的解析式；
（2）直线l：y=kx+b与抛物线C交于A、B两点
①当b=-4时，若线段AB被x轴平分，求k的值；
②当k=1时，若线段AB=4$\sqrt{10}$，求b的值；
（3）抛物线C的顶点平移到原点，得新抛物线C₁，抛物线C₁上一点M（-4，t），过点M作抛物线的两条弦MD和MC，且MD⊥MC，判断直线DC是否过定点？并说明理由．

分析（1）可设抛物线的顶点式，可直接得出抛物线的解析式；
（2）①联立直线和抛物线解析式，可整理成关于x的一元二次方程，设设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由根与系数的关系可求得x₁+x₂=4k+2，x₁x₂=9，再根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值；②同理，当k=1时，可得到关于b的方程，可求得b的值；
（3）由平移可求得抛物线C₁的解析式，则可求出M点坐标，设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），过点M作l∥y轴，过点C作CE⊥l于E，过点D作DF⊥l于F，可证明Rt△DFM∽Rt△MEC，由相似三角形的性质，整理可得4（x₁+x₂）-x₁x₂=32，设直线CD的解析式为y=kx+b，联立直线CD与抛物线C₁的解析式，可整理成关于x的一元二次方程，再由根与系数的关系可得到b与k的关系，则可求得答案．

解答解：（1）∵抛物线C：y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c的顶点（1，-2），
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²-2；
（2）①当b=-4时，直线l解析式为y=kx-4，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}（x-1）^{2}-2}\\{y=kx-4}\end{array}\right.$，整理得x²-（4k+2）x+9=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵AB被x轴平分，
∴y₁+y₂=0，
∵x₁+x₂=4k+2，x₁x₂=9，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-8=k（4k+2）-8=0，解得k=$\frac{-1±\sqrt{33}}{4}$；
②当k=1时，直线l解析式为y=x+b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}（x-1）^{2}-2}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，整理得x²-6x-7-4b=0，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=-7-4b，
当k=1时，AB=$\sqrt{2}$（x₂-x₁）=$\sqrt{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{64+16b}$，
∵AB=4$\sqrt{10}$，
∴$\sqrt{2}$$\sqrt{64+16b}$=4$\sqrt{10}$，解得b=1；
（3）由题意可知抛物线C₁的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²，
∴M（-4，4），
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
过点M作l∥y轴，过点C作CE⊥l于E，过点D作DF⊥l于F，如图，

∵MD⊥MC，
∴∠MDC=90°，
∴∠FDM+∠DMF=∠DMF+∠CME，
∴∠FDM=∠CME，且∠DFM=∠CEM=90°，
∴Rt△DFM∽Rt△MEC，
∴$\frac{DF}{ME}$=$\frac{FM}{EC}$，即$\frac{{x}_{2}+4}{4-{y}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}-4}{{x}_{1}+4}$，
∵点C、D在抛物线C₁上，
∴$\frac{{x}_{2}+4}{4-\frac{1}{4}{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}-4}{{x}_{1}+4}$，整理得4（x₁+x₂）-x₁x₂=32，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，整理得x²-4kx-4b=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
∴4×4k-（-4b）=32，整理可得b=8-4k
∴直线CD解析式为y=kx+b=kx-4k+8=k（x-4）+8，
∴直线CD过定点（4，8）．

点评本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、根与系数的关系、相似三角形的判定和性质及方程思想等知识．在（1）中注意抛物线顶点式的应用，在（2）中由平分或线段的长度得到关于k或b的方程是解题的关键，注意根与系数关系的应用，在（3）中构造三角形相似，由相似三角形的性质结合根与系数的关系得到b与k的关系是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

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