Question

如图，正方形ABCD的对角线交于点O，∠BAC的平分线交BD于E，
（1）求证：DE=DA；
（2）若AB=4，求BE的长．

Answer 1

考点：正方形的性质

专题：

分析：（1）根据正方形的对角线性质可得∠ABE=∠BAC=∠DAC=45°；根据角平分线可得∠BAE=∠EAC=22.5°，∠AED=∠ABE+∠BAE=67.5°=∠DAE，所以DE=AD；
（2）由勾股定理求得BD=4

2

，再由（1）的结论得出BE=BD-DE=BD-DA=4

2

-4．

解答：（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴∠ABE=∠BAC=∠DAC=45°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠EAC=22.5°．
∴∠DAE=45°+22.5°=67.5°；
∠AED=∠ABE+∠BAE=45°+22.5°=67.5°．
∴∠DAE=∠AED，
∴DE=AD．
（2）解：∵AB=AD=4，
∴BD=

AB2+AD2

=4

2

，
∴BE=BD-DE=BD-DA=4

2

-4．

点评：此题考查正方形的性质和等腰三角形的判定，计算出具体角度是解题的关键，属基础题．