Question

【题目】已知抛物线y=ax2﹣2ax+c与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（﹣1，0），O是坐标原点，且|OC|=3|OA|

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直接写出直线BC的函数表达式；
（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF．将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0＜t≤2）．
求：①s与t之间的函数关系式；
②在运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．
（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

答案

解：∵A（﹣1，0），|OC|=3|OA|

∴C（0，﹣3）

∵抛物线经过A（﹣1，0），

C（0，﹣3）

∴

∴

∴y=x2﹣2x﹣3

；

答案

解：∵A（﹣1，0），|OC|=3|OA|

∴C（0，﹣3）

∵抛物线经过A（﹣1，0），

C（0，﹣3）

∴

∴

∴y=x2﹣2x﹣3

；答案；解：∵A（﹣1，0），|OC|=3|OA|

∴C（0，﹣3）

∵抛物线经过A（﹣1，0），

C（0，﹣3）

∴

∴

∴y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：）由（1）的抛物线知：点B（3，0）；

设直线BC的解析式为：y=kx﹣3，代入B点坐标，得：

3k﹣3=0，解得 k=1

∴直线BC的函数表达式为y=x﹣3

（3）

解：当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时，设D点的坐标为（m，﹣2），

根据题意得：﹣2=m﹣3，∴m=1．

①当0＜t≤1时，正方形和△OBC的重合部分是矩形；

∵OO1=t，OD=2

∴S1=2t；

当1＜t≤2时，正方形和△OBC的重合部分是五边形，如右图；

∵OB=OC=3，∴△OBC、△D1GH都是等腰直角三角形，∴D1G=D1H=t﹣1；

S2=S矩形DD1O1O﹣S△D1HG=2t﹣ ×（t﹣1）2=﹣ t2+3t﹣ ．

②由①知：

当0＜t≤1时，S=2t的最大值为2；

当1＜t≤2时，S=﹣ t2+3t﹣ =﹣ （t﹣3）2+4，由于未知数的取值范围在对称轴左侧，且抛物线的开口向下；

∴当t=2时，函数有最大值，且值为 S=﹣ +4= ＞2．

综上，当t=2秒时，S有最大值，最大值为

（4）

解：

由（2）知：点P（1，﹣2）．假设存在符合条件的点M；

①当AM PN时，点N、P的纵坐标相同，即点N的纵坐标为﹣2，代入抛物线的解析式中有：

x2﹣2x﹣3=﹣2，解得 x=1± ；

∴AM=NP= ，

∴M1（﹣ ﹣1，0）、M2（ ﹣1，0）．

②当AN PM时，平行四边形的对角线PN、AM互相平分；

设M（m，0），则 N（m﹣2，2），代入抛物线的解析式中，有：

（m﹣2）2﹣2（m﹣2）﹣3=2，解得 m=3± ；

∴M3（3﹣ ，0）、M4（3+ ，0）．

综上，存在符合条件的M点，且坐标为：

M1（﹣ ﹣1，0）、M2（ ﹣1，0）、M3（3﹣ ，0）、M4（3+ ，0）．

【解析】（1）首先由OC、OA的数量关系确定点C的坐标，即可利用待定系数法求出抛物线的解析式．（2）由（1）的抛物线解析式可得点B的坐标，而点C的坐标已经求得，由待定系数法求解即可．（3）①首先要明确正方形ODEF和△OBC重合部分的形状：当点D在△OBC内部时，两者的重合部分是矩形；当点D在△OBC外部时，两者的重合部分是五边形，其面积可由正方形的面积减去△DGH的面积（G、H分别为ED、OD和线段BC的交点）．在判断t的取值范围时，要注意一个“关键点”：点D位于线段BC上时．②根据①的函数性质即可得到答案，要注意未知数的取值范围．（4）若存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形，那么应分：AM PN或AN PM两种情况，由于AM在x轴上，结合平行四边形的特点可知：无论哪种情况，点N到x轴的距离都等于点P到x轴的距离，根据这个特点可确定点M、N的坐标．
【考点精析】关于本题考查的二次函数图象的平移，需要了解平移步骤：（1）配方 y=a(x-h)2+k，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减才能得出正确答案．