【题目】如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,M为对角线BD延长线上一点,连接AM和CM,E为CM上一点,且满足CB=CE,连接BE,交CD于点F.
(1)若∠AMB=30°,且DM=3,求BE的长;
(2)证明:AM=CF+DM.
【答案】
(1)解:如图1中,
∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,
∴△ABD,△BCD的是等边三角形,
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠BAD=60°,BA=BC,
∵∠AMB=30°,∠ADB=∠AMB+∠DAM,
∴∠DAM=∠DMA=30°,
∴∠BAM=90°,DA=DM=AB=BC=CE=3,
在△BMA和△BMC中,
,
∴△BMA≌△BMC,
∴∠BCM=∠BAM=90°,
在Rt△BCE中,BE= =3
.
(2)解:如图2中,在BD上取一点G,使得BG=DF,连接CG交BE于O.
∵BG=DF,∠CBG=∠BDF,BD=BC,
∴△GBC≌△FDB,
∴∠BGC=∠BFD,∠DBF=∠BCG,
∴∠MGC=∠BFC,
∵∠COF=∠CBO+∠OCB=∠CBO+∠DBF=60°
在△COE中,∠ECO+∠EOC+∠CEO=180°,
在△BCF中,∠BFC+∠CBF+∠BCF=180°,
∵CB=CE,
∴∠CBE=∠CEO,∵∠BCF=∠COE=60°,
∴∠ECO=∠BFC=∠MGC,
∴MC=MG,
由(1)可知△BMA≌△BMC,
∴AM=MC=MG,
∵MG=DG+DM,
∵BD=CD,BG=DF,
∴DG=CF,
∴AM=CF+DM
【解析】(1)根据菱形的性质和全等三角形的性质可得出△BCE是等腰直角三角形,即可求出BE的长;(2)证两线段之和等于一条线段可采取“截长补短法“,即在长线段BM上截取BG=DF,构造全等三角形△GBC≌△FDB,可推出CF=DG,再结合已知AM=CM=MG,得出结论.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用菱形的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形;菱形的面积等于两条对角线长的积的一半.
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【题目】矩形ABCD中,AD=8cm,AB=6cm,动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动,动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动,E点运动到B点停止,F点继续运动,运动到点D停止.如图可得到矩形CFHE,设F点运动时间为x(单位:s),此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位:cm2),则y与x之间的函数关系用图象表示大致是如图中的( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,直线AB、CD相交于点O,OE是∠COB的平分线,FO⊥OE,已知∠AOD=70°.
(1)求∠BOE的度数; (2)OF平分∠AOC吗?为什么?
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【题目】一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y= (k≠0)的图象相交于A,B两点,与y轴交于点C,与x轴交于点D,点D的坐标为(﹣1,0),点A的横坐标是1,tan∠CDO=2.过点B作BH⊥y轴交y轴于H,连接AH.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△ABH面积.
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【题目】为传播奥运知识,小刚就本班学生对奥运知识的了解程度进行了一次调查统计:A:熟悉,B:了解较多,C:一般了解.图1和图2是他采集数据后,绘制的两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答以下问题:
(1)求该班共有多少名学生;
(2)在条形图中,将表示“一般了解”的部分补充完整;
(3)在扇形统计图中,计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数;
(4)如果全年级共1000名同学,请你估算全年级对奥运知识“了解较多”的学生人数.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的图象,根据图形判断①c>0;②a+b+c<0;③2a﹣b<0;④b2+8a>4ac中正确的是(填写序号) .
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【题目】某农场种植一种蔬菜,销售员张平根据往年的销售情况,对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测,预测情况如图,图中的抛物线(部分)表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系.观察图象,你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息?答题要求:(1)请提供四条信息;(2)不必求函数的解析式.(注:此题答案不唯一,以上答案仅供参考.若有其它答案,只要是根据图象得出的信息,并且叙述正确都可以)
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