Question

3．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，∠A=60°，以AB为直径的⊙O过点D，点M是BC边上一点（点M不与B，C重合），过点M作BC的垂线MN，交CD边于点N．
（1）求AD的长；
（2）当点N在⊙O上时，求证：直线MN是⊙O的切线；
（3）以CN为直径作⊙P，设BM=x，⊙P的直径为y，
①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当BM为何值时，⊙P与⊙O相切．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由题意证出△AOD是等边三角形，得出AD=OA=1即可；
（2）连接ON，由平行四边形的性质得出AB∥CD，BC=AD=1，∠C=∠A=60°，证出△DON是等边三角形，得出∠DNO=60°，求出∠CNM=30°，因此∠ONM=90°即可；
（3）①由含30°角的直角三角形的性质得出CN=2CM，即可得出结果；
②作PE⊥AB于E，CN⊥AB于N，则∠BCN=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，得出PE=CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由相切两圆的圆心距=两圆半径之和，得出OP=OB+PC=2-x，因此OE=OB+BN-EN=$\frac{1}{2}$+x，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）解：连接OD，如图1所示：
根据题意得：OA=OB=1，
∵OA=OD，∠A=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OA=1，∠AOD=60°；
（2）证明：连接ON，如图2所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC=AD=1，∠C=∠A=60°，
∴∠ODN=∠AOD=60°，
∵OD=ON，
∴△DON是等边三角形，
∴∠DNO=60°，
∵MN⊥BC，
∴∠CNM=90°-60°=30°，
∴∠ONM=180°-30°-60°=90°，
即MN⊥ON，
∴直线MN是⊙O的切线；
（3）解：①∵∠CNM=30°，MN⊥BC，
∴CN=2CM，即y=2（1-x），
∴y=2-2x，
即y关于x的函数关系式为y=2-2x（0＜x＜1）；
②作PE⊥AB于E，CN⊥AB于N，如图3所示：
则∠BCN=30°，
∴BN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，PE=CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵⊙P与⊙O相切，
∴OP=OB+PC=1+1-x=2-x，OE=OB+BN-EN=1+$\frac{1}{2}$-（1-x）=$\frac{1}{2}$+x，
由勾股定理得：OE²+PE²=OP²，
即（$\frac{1}{2}$+x）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=（2-x）²，
解得：x=$\frac{3}{5}$，
即BM为$\frac{3}{5}$时，⊙P与⊙O相切．

点评 本题是圆的综合题目，考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、切线的判定、含30°角的直角三角形的性质、相切两圆的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）②中，需要根据相切两圆的性质和勾股定理得出方程才能得出结果．