Question

【题目】如图（1），在平面直角坐标系中，直线y=-x+m交y轴于点A，交x轴于点B，点C为OB的中点，作C关于直线AB的对称点F，连接BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M．

（1）直接写出点F的坐标（用m表示）；

（2）求证：OF⊥AC；

（3）如图（2），若m=2，点G的坐标为（-，0），过G点的直线GP：y=kx+b（k≠0）与直线AB始终相交于第一象限；

①求k的取值范围；

②如图（3），若直线GP经过点M，过点M作GM的垂线交FB的延长线于点D，在平面内是否存在点Q，使四边形DMGQ为正方形？如果存在，请求出Q点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（m，m）（2）见解析（3）①0＜k＜6②（，-）

【解析】

（1）CF⊥AB，CR=FR，则∠RCB=45°，则RC=RB=RF，∠RBF=45°，即FB⊥x轴，即可求解；

（2）证明△AOC≌△OBF（HL），即可求解；

（3）①将点（-，0）代入y=kx+b即可求解；②求出点D（2，-1），证明△MNG≌△MHD（HL），即可求解．

解：（1）y=-x+m，令x=0，则y=m，令y=0，则x=m，则∠ABO=45°，

故点A、B的坐标分别为：（0，m）、（m，0），则点C（m，0），

如图（1）作点C的对称轴F交AB于点R，则CF⊥AB，CR=FR，

则∠RCB=45°，则RC=RB=RF，

∴∠RBF=45°，即FB⊥x轴，

故点F（m，m）；

（2）∵OC=BF=m，OB=OA，

∴△AOC≌△OBF（HL），

∴∠OAC=∠FOB，

∵∠OAC+∠AOE=90°，

∴∠OAC+∠AOE=90°，

∴∠AEO=90°，

∴OF⊥AC；

（3）①将点（-，0）代入y=kx+b得：

，解得：，

由一次函数图象知：k＞0，

∵交点在第一象限，则，

解得：0＜k＜6；

②存在，理由：

直线OF的表达式为：y=x，直线AB的表达式为：y=-x+2，

联立上述两个表达式并解得：x=，故点M（，），

直线GM所在函数表达式中的k值为：，则直线MD所在直线函数表达式中的k值为-，

将点M坐标和直线DM表达式中的k值代入一次函数表达式并解得：

直线DM的表达式为：y=-x+4，故点D（2，-1），

过点M作x轴的垂线于点N，作x轴的平行线交过点G于y轴的平行线于点S，

过点G作y轴的平行线交过点Q与x轴的平行线于点T，

则，

∴△MNG≌△MHD（HL），

∴MD=MG，

则△GTQ≌△MSG，则GT=MS=GN=，TQ=SG=MN=，

故点Q（，-）．