Question

如图（1）先把一张矩形纸片ABCD上下对折，设折痕为MN；如图（2）再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B向右折纸片，使D、Q、A三点扔保持在一条直线上，得折痕PQ．
（1）求证：△PBE∽△QAB．
（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？若相似给出证明；若不相似请说明理由．
（3）延长EB交AD于点H，请直接写出△AEH的形状为

 

．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据∠ABE=90°得∠EBP+∠ABQ=90°，证出∠ABQ=∠PEB，再根据△PBE和△QAB都是直角三角形，得出∠BPE=∠AQB=90°，即可证出△PBE∽△QAB；
（2）根据△PBE和△BAE都是直角三角形，利用（1）的结论，结合BP=BQ可证直角的两边对应成比例，从而得出△PBE和△BAE相似；
（3）根据题意先画出图形，根据ASA证出△PBE≌△QBH得出BE=BH，再根据AB⊥EH，得出AE=AH，∠EAB=∠HAB=60°，从而得出答案．

解答：解：（1）∵∠PBE+∠ABQ=90°，∠PBE+∠PEB=90°，
∴∠ABQ=∠PEB．
在△PBE与△QAB中，
∵∠ABQ=∠PEB，∠BPE=∠AQB=90°，
∴△PBE∽△QAB．

（2）△PBE和△BAE相似．
∵△PBE∽△QAB，
∴

BE

AB

=

PE

BQ

，
∵BQ=PB，
∴

BE

AB

=

PE

PB

，
又∵∠EPB=∠EBA=90°，
∴△PBE∽△BAE．

（3）在△PBE和△QBH中，

∠PBE=∠QBH BP=BQ ∠BPE=∠BQH

，
∴△PBE≌△QBH（ASA），
∴BE=BH，
∵AB⊥EH，
∴AE=AH，∠EAB=∠HAB=60°，
∴△AEH是等边三角形；
故答案为：等边三角形．

点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是全等三角形和相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定，关键是画出图形，找出图形中的全等三角形和相似三角形．