Question

如图，AB是半圆O的直径，OD平分弦BC于点F，且交半圆于点E．若∠AEC=∠ODB．
（1）判断直线BD和半圆O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB=26，BC=24时，求DF的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）根据垂径定理求得∠DFB=90°，根据同弧所对的圆周角相等，有∠AEC=∠ABC，又因为∠AEC=∠ODB，所以∠ABC=∠ODB，即∠ABC+∠BOD=90°，则有∠ODB+∠BOD=90°，即BD垂直于AB，所以BD为切线．
（2）由（1）可知OD⊥BC，∠ABC=∠ODB，所以有△BOD∽△FOB，而OF可由勾股定理求出，所以根据对应线段成比例求出DF的长．

解答：解：（1）直线BD和半圆O相切；
∵OD平分BC，
∴OD⊥BC，
∴∠DFB=90°
∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC，
∴∠ODB=∠ABC，
∵∠ODB+∠DBC=90°
∴∠ABC+∠DBC=90°
∴∠ABD=90°
∴AB⊥BD
即直线BD和半圆O相切．
（2）∵OD⊥BC，BC=24，AB=26
∴BF=

1

2

BC=12，OB=13，
∴OF=

OB2-BF2

=5，
∵∠OBD=∠OFB=90°，∠BOD=∠FOB
∴△BOD∽△FOB，
∴

BO

FO

=

OD

OB

，
∴OD=

OB2

OF

=

132

5

=

169

5

时，
∴DF=OD-OF=

144

5

，
∴DF的长为

144

5

．

点评：此题主要考查了切线的判定，勾股定理的应用以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．