Question

已知△ABC与△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，∠BAC=∠B′A′C′=100°．
（1）求证：△ABC≌△A′B′C′；
（2）上问中，若将条件改为AB=A′B′，BC=B′C′，∠BAC=∠B′A′C′=70°，其他条件不变，那么结论是否成立？为什么？

Answer 1

考点：全等三角形的判定

专题：

分析：（1）根据余弦定理可得（AC+A'C'）（AC-A'C'）=2ABcos100°（AC-A'C'），只有AC=A'C'等式成立，即可判定△ABC≌△A′B′C′；
（2）根据余弦定理可得（AC+A'C'）（AC-A'C'）=2ABcos70°（AC-A'C'）AC=A'C'，AC=A'C'或AC+A'C'=2ABcos70°等式成立，如图，无法证明△ABC≌△A′B′C′．

解答：（1）证明：如图，

∵AB=A′B′，BC=B′C′，∠BAC=∠B′A′C′=100°，
BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC，B'C'²=A'B'²+A'C'²-2A'B'•A'C'cos∠B'A'C'，
∴AC²-2AB•ACcos100°=A'C'²-2A'B'•A'C'cos100°，
即AC²-A'C'²=2AB•ACcos100°-2A'B'•A'C'cos100°，
（AC+A'C'）（AC-A'C'）=2ABcos100°（AC-A'C'）
∵AC+A'C'＞0，2ABcos100°＜0，
∴只有AC=A'C'等式成立，
∴AC=A'C'，
在△ABC和△A′B′C′中，

AB=A′B′ BC=B′C′ AC=A′C′

，
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）；
（2）图中AB=A′B′，BC=B′C′，∠BAC=∠B′A′C′=70°，

∵AB=A′B′，BC=B′C′，∠BAC=∠B′A′C′=70°，
BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC，B'C'²=A'B'²+A'C'²-2A'B'•A'C'cos∠B'A'C'，
∴AC²-2AB•ACcos70°=A'C'²-2A'B'•A'C'cos70°，
即AC²-A'C'²=2AB•ACcos70°-2A'B'•A'C'cos70°，
（AC+A'C'）（AC-A'C'）=2ABcos70°（AC-A'C'）
∵AC=A'C'或AC+A'C'=2ABcos70°等式成立，
∴AC=A'C'，或AC+A'C'=2ABcos70°，
∴△ABC和△A′B′C′不全等．

点评：本题考查了全等三角形的判定，本题中根据余弦定理求得等式（AC+A'C'）（AC-A'C'）=2ABcos∠BAC（AC-A'C'）并分析是解题的关键．