Question

如图，直线y=kx与双曲线y=

12

x

交于A、B两点，且点A 的坐标为（6，m）．
（1）求直线y=kx的解析式．
（2）在双曲线上任意找一个异于A、B的点C，并连接OC和AC，再作△OAC关于原点O的位似三角形OA₁C₁，使△OA₁C₁与△OAC的相似比为2：1，试说明过点A₁的双曲线也必过点C₁．
（3）将（2）中的△OA₁C₁与△OAC的相似比变成n：1，直接写出过点A₁的双曲线的解析式．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据自变量与函数值的关系，可得A点坐标，根据待定系数法，可得正比例函数解析式；
（2）根据两三角形的位似比等于对应边的比，可得A₁点坐标，C₁点坐标，根据待定系数法，可得双曲线的解析式，根据把点的坐标代入函数解解析式，可得答案；
（3）根据位似三角形的位似比，可得A₁点的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式．

解答：解：（1）由双曲线y=

12

x

过点A（6，m），得
m=

12

6

=2，即A（6，2），
把A点坐标（6，2）代入y=kx，得
6k=2，解得k=

1

3

，
直线y=kx的解析式为y=

1

3

x；
（2）如图：
，
设C（c，

12

c

），A₁（a，

1

3

a），由△OA₁C₁与△OAC的相似比为2：1，即

OA1

OA

=

OC1

OC

=

2

1

，
即

a2+( 1 3 a)2

62+22

=

4

1

，解得a=-12，

1

3

a=-4，
A₁（-12，-4），由此可得A₁点的坐标是A点坐标的-2倍，
C₁点的坐标是C点坐标的-6倍，即C₁（-2c，-

24

c

），
设过A₁点的双曲线是y=

k

x

，把A₁点的坐标代入，得k=-12×（-4）=48，
即过A₁点的双曲线是y=

48

x

，
把C₁点坐标代入y=

48

x

，得
-

24

c

=

48

-2c

，即点A₁的双曲线也必过点C₁；
（3）△OA₁C₁与△OAC的相似比变成n：1，
得

OA1

OA

=

n

1

，
A₁（-6n，-2n）
过A₁点的双曲线为y=

k

x

，把（-6n，-2n）代入得
k=（-6n）•（-2n）=12n²，
即过点A₁的双曲线的解析式y=

12n2

x

．

点评：本题考查了反比例函数综合题，（1）利用了自变量与函数值的对应关系，待定系数法求函数解析式，（2）利用三角形的位似比等与对应边的比得出对应点的坐标是解题关键．