Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+bx+c经过A（-1，0），C（2，-3）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若将此抛物线平移，使其顶点为点D，需如何平移？写出平移后抛物线的解析式；
（3）过点P（m，0）作x轴的垂线（1≤m≤2），分别交平移前后的抛物线于点E，F，交直线OC于点G，求证：PF=EG．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换,待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）把A（-1，0），C（2，-3）代入y=

1

2

x²+bx+c，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，即可求出抛物线的解析式，再利用配方法将一般式化为顶点式，即可求出顶点坐标；
（2）先求出抛物线y=

1

2

x²-

3

2

x-2与y轴交点D的坐标为（0，-2），再根据平移规律可知将点（

3

2

，-

25

8

）向左平移

3

2

个单位长度，再向上平移

9

8

个单位长度，可得到点D，然后利用顶点式即可写出平移后的抛物线解析式为：y=

1

2

x²-2；
（3）先用待定系数法求直线OC的解析式为y=-

3

2

x，再将x=m代入，求出y_G=-

3

2

m，y_F=

1

2

m²-2，y_E=

1

2

m²-

3

2

m-2，再分别计算得出PF=-（

1

2

m²-2）=2-

1

2

m²，EG=y_G-y_E=2-

1

2

m2，由此证明PF=EG．

解答：（1）解：把A（-1，0），C（2，-3）代入y=

1

2

x²+bx+c，
得：

1 2 -b+c=0 2+2b+c=-3

，解得：

b=- 3 2 c=-2

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
∵y=

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

，
∴其顶点坐标为：（

3

2

，-

25

8

）；

（2）解：∵y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
∴当x=0时，y=-2，
∴D点坐标为（0，-2）．
∵将点（

3

2

，-

25

8

）向左平移

3

2

个单位长度，再向上平移

9

8

个单位长度，可得到点D，
∴将y=

1

2

x²-

3

2

x-2向左平移

3

2

个单位长度，再向上平移

9

8

个单位长度，顶点为点D，
此时平移后的抛物线解析式为：y=

1

2

x²-2；

（3）证明：设直线OC的解析式为y=kx，
∵C（2，-3），
∴2k=-3，解得k=-

3

2

，
∴直线OC的解析式为y=-

3

2

x．
当x=m时，y_F=

1

2

m²-2，则PF=-（

1

2

m²-2）=2-

1

2

m²，
当x=m时，y_E=

1

2

m²-

3

2

m-2，y_G=-

3

2

m，
则EG=y_G-y_E=2-

1

2

m2，
∴PF=EG．

点评：本题考查了运用待定系数法求二次函数、正比例函数的解析式，二次函数图象与几何变换，抛物线顶点坐标的求法等知识，难度适中．