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【题目】如图,在中,,以点为圆心,适当的长为半径作弧,分别交于点,再分别以点为圆心,大于的长为半径作弧,两弧交于点,作射线,交于点.点在斜边上,以点为圆心,的长为半径的圆恰好经过点

1)判断直线的位置关系,并说明理由;

2)若,求的半径.

【答案】1)直线AC与⊙O相切,理由见解析;(2)⊙O的半径为

【解析】

1)连接OF,如图,利用基本作图得到BF平分∠ABC,则∠OBF=CBF,再证明OFBC得到∠OFA=C=90°,然后根据切线的判定定理可判断AC为⊙O的切线;

2)先在RtABC中利用正切定义计算出AC=8,则利用勾股定理可计算出AB=10,设⊙O的半径为r,则OF=OB=rOA=10-r,利用平行线分线段成比例得到AOAB=OFBC,然后利用比例性质求出r即可.

1AC与⊙O相切.

理由如下:连接OF,如图,

由作法得,BF平分∠ABC

∴∠OBF=CBF

OB=OF

∴∠OBF=OFB

∴∠OFB=CBF

OFBC

∴∠OFA=C=90°

OFAC

AC为⊙O的切线;

2)在RtABC中,

设⊙O的半径为r,则OF=OB=rOA=10-r

OFBC

AOAB=OFBC

即(10-r):10=r6,解得r=

即⊙O的半径为

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