Question

18．如图，在平面直角坐标系内，已知A（-4，0），B（16，0），点C在y轴正半轴上，且∠ACB=90°，D，E分别为线段AB，BC上的点，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点C处．
（1）求直线DE的解析式；
（2）把∠ACD绕点C逆时针旋转（旋转角小于90°），设旋转后这个角的一条边CA交x轴于P，另一条边CD交直线DE于Q，设AP=m，△PDQ的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，设直线PQ，CD相交于N，设QN=5PN，求m的值．

Answer 1

分析 （1）在直角△OCD中利用勾股定理即可列方程求得OD的长，即可求得D的坐标，然后求得BC的解析式，然后根据DE⊥BC即可求得DE的解析式；
（2）首先证明△ACP∽△DCQ，再利用相似三角形的对应边的比相等可用m表示出DQ的长度，然后作QF⊥x轴于点F，则△DQF∽△DBE∽△ACO，根据相似三角形的性质利用m表示出QF的长度，则三角形的面积即可求得；
（3）根据（2）的结果利用m表示出Q的坐标，求得P的坐标，根据QN=5PN即可利用m表示出N的坐标，求得CD的解析式，把N的坐标代入即可解方程求得m的值．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，OC⊥AB，
∴OC2=OA•OB=4×16=64，
∴OC=8，即C的坐标是（0，8）．
设BD=x，则CD=BD=x，
在直角△OCD中，CD²=OC²+OD²，则x²=64+（16-x）²，
解得：x=10，
则D的坐标是（6，0）．
设直线BC的解析式是y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{16k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
则直线BC的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+8．
∵DE⊥BC，
∴设DE的解析式是y=2x+c，把（6，0）代入得12+c=0，解得：c=-12，
则直线DE的解析式是y=2x-12；
（2）直角△OCD中，CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵∠ACB=90°，OC⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴∠CAO=∠OCB，
又∵∠OBC=∠OBC，∠COB=∠DEB=90°，
∴△COB∽△DEB，
∴∠EDB=∠OCB
又∵∠CDE=∠DEB，
∴∠CAO=∠CDE，
又∵∠ACP=∠DCQ，
∴△ACP∽△DCQ，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{AP}{DQ}$，即$\frac{4\sqrt{5}}{10}$=$\frac{m}{DQ}$，则DQ=$\frac{\sqrt{5}}{2}$m．
作QF⊥x轴于点F，则△DQF∽△DBE∽△ACO，
∴$\frac{QF}{OC}$=$\frac{DF}{OA}$=$\frac{DQ}{AC}$，即$\frac{QF}{8}$=$\frac{DF}{4}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}m}{10}$，
解得：QF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$m，DF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$m．
当0≤m≤10时，PD=AD-AP=10-m，
则S=$\frac{1}{2}$PD•QF=$\frac{1}{2}$×（10-m）×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$m，即S=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$m²+2$\sqrt{5}$m；
当m＞10时，PD=m-10，
则S=$\frac{1}{2}$（m-10）×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$m，即S=$\frac{\sqrt{5}}{5}$m²-2$\sqrt{5}$m；
（3）设CD的解析式是y=ex+f，则$\left\{\begin{array}{l}{f=8}\\{6x+f=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{f=8}\\{e=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
则直线CD的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+8．
OF=OD+DF=6+$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则Q的坐标是（6+$\frac{\sqrt{5}}{5}$m，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$m）．
P的横坐标是m-4，则P的坐标是（m-4，0）．
∵QN=5PN，
∴N的坐标是（$\frac{31-\sqrt{5}}{30}$m-$\frac{7}{3}$，$\frac{\sqrt{5}}{15}$m）．
代入CD的解析式得：-$\frac{4}{3}$（$\frac{31-\sqrt{5}}{30}m$-$\frac{7}{3}$）+8=$\frac{\sqrt{5}}{15}$m，
解得：m=$\frac{220（62+\sqrt{5}）}{3839}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质和待定系数法求函数解析式的综合应用，正确利用证明△ACP∽△DCQ，表示出Q的坐标是关键．