Question

【题目】在中，垂直平分，分别交、于点、，垂直平分，分别交，于点、．

（1）请判断△ANE的周长与AB+AC的和的大小,并说明理由.

（2）①如图①，若∠B=34°，∠C=28°，求的度数为______；

②如图②，若，则的度数为________；

③若，则的度数为________.

Answer 1

【答案】（1）△ANE的周长<AB+BC；（2）①56°；②16°；③当0°＜α＜90°时，∠EAN=180°-2α；当180°＞α＞90°时，∠EAN=2α-180°

【解析】

（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，AN=CN,则△ANE的周长等于BE+EN+AN；

（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B，同理可得，∠CAN=∠C，然后利用外角和公式求出∠EAN=180°-2∠B-2∠C，即可求解；

②根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B，同理可得，∠CAN=∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C，再根据∠EAN=∠BAC-（∠BAE+∠CAN）代入数据进行计算即可得解；
③根据前两问的求解方法，分0°＜α＜90°与180°＞α＞90°两种情况解答．

解：（1）△ANE的周长<AB+BC，理由如下

∵DE垂直平分AB，垂直平分
∴AE=BE，AN=CN

又∵△ANE的周长=AE+EN+AN

∴△ANE的周长=AE+EN+AN=BE+EN+CN=BC

∴△ANE的周长<AB+BC

（2）①∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，

在三角形AEN中，
∴∠EAN=180°-∠AEN-∠ANE，

又∵∠AEN=∠B+∠BAE, ∠ANE=∠C+∠CAN
∴∠EAN=180°-2∠B-2∠C=56°；

②∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC，
=（∠B+∠C）-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=98°，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=98°-82°=16°；
③∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC，
=（∠B+∠C）-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC= -α=180°-2α

∴当0°＜α＜90°时，∠EAN=180°-2α；
当180°＞α＞90°时，∠EAN=2α-180°．