Question

【题目】如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90．

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90，点D在线段BC上运动．

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）

（3）若AC＝，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①CF与BD位置关系是垂 直、数量关系是相 等；

②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．

由正方形ADEF得 AD="AF" ，∠DAF=90．

∵∠BAC=90，∴∠DAF="∠BAC" ， ∴∠DAB=∠FAC，

又AB="AC" ，∴△DAB≌△FAC ， ∴CF=BD 　　　　

∠ACF=∠ABD．

∵∠BAC=90， AB="AC" ，∴∠ABC=45，∴∠ACF=45，

∴∠BCF="∠ACB+∠ACF=" 90．即 CF⊥BD

（2）画图正确　　　　　　　

当∠BCA=45时，CF⊥BD（如图丁）．

理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG

可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45

∠BCF="∠ACB+∠ACF=" 90． 即CF⊥BD

（3）当具备∠BCA=45时，

过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊）

∵DE与CF交于点P时， ∴此时点D位于线段CQ上，

∵∠BCA=45，可求出AQ= CQ=4．设CD="x" ，∴ DQ=4—x，

容易说明△AQD∽△DCP，∴， ∴，

．

∵0＜x≤3 ∴当x=2时，CP有最大值1．

【解析】

（1）首先选择图2证明，由AB=AC，∠BAC=90°，可得：△ABC是等腰直角三角形，又由四边形ADEF是正方形，易证得△ABD≌△ACF（SAS），即可求得：CF=BD，∠ACF=∠B=45°，证得CF⊥BD；

（2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，可证△GAD≌△CAF，则∠ACF=∠AGD=45，从而得∠BCF="∠ACB+∠ACF=" 90， 即CF⊥BD。

（3）首先作辅助线：过点A作AG⊥BC，垂足为G，连接CF，易得：△AGD∽△DCP，由相似三角形的对应边成比例，即可求得：AGCP=GDDC，在等腰Rt△AGC中求得AC的值，设GD=x，即可求得CP关于x的二次函数，求得最大值．